Exercice 52

Par la formule de Taylor-Young et l'imparité (proposition 9), il existe des réels $a, b, p, q$ tels que $$f(x) = x + ax^{3} + bx^{5} + o(x^{6}), \qquad g(x) = x + px^{3} + qx^{5} + o(x^{6}).$$ Comme $g(x) \sim x$, on a $g^{3} = x^{3} + 3px^{5} + o(x^{6})$ et $g^{5} = x^{5} + o(x^{6})$, donc $$f\big(g(x)\big) = g + ag^{3} + bg^{5} + o(x^{6}) = x + (p + a)x^{3} + (q + 3ap + b)x^{5} + o(x^{6}).$$ En échangeant les rôles, $g\big(f(x)\big) = x + (a + p)x^{3} + (b + 3pa + q)x^{5} + o(x^{6})$. Les deux développements coïncident : $$\boxed{f\big(g(x)\big) - g\big(f(x)\big) = o(x^{6})}$$ Le coefficient de $x^{6}$ est d'ailleurs nul d'office, puisque $f \circ g - g \circ f$ est impaire. Celui de $x^{7}$ n'est pas nul en général : pour $f(x) = x + x^{3}$ et $g(x) = x + 2x^{3}$, on calcule $f(g(x)) - g(f(x)) = 6x^{7} + 6x^{9}$. Deux fonctions tangentes à l'identité commutent donc « presque » à l'ordre $6$, mais pas au-delà.