ExerciceMaths Sup – MPSI, chapitre 10 — Analyse asymptotique et développements limités · Exercices de synthèse

Exercice 49

Vrai ou fauxDémonstration

Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple.

1. Si $f \sim g$ au voisinage de $a$ , alors $\lim\limits_{x \to a} \big(f(x) - g(x)\big) = 0$ .

2. Si $f \sim g$ au voisinage de $a$ et si $\lim\limits_{x \to a} g(x) = +\infty$ , alors $\lim\limits_{x \to a} f(x) = +\infty$ .

3. Si $u_{n} \sim v_{n}$ , alors $\mathrm{e}^{u_{n}} \sim \mathrm{e}^{v_{n}}$ .

4. Si $f = o(g)$ et $g = O(h)$ au voisinage de $a$ , alors $f = o(h)$ .

5. Si $f$ est paire et admet un développement limité à l'ordre $5$ en $0$ , les coefficients de $x$ , $x^{3}$ et $x^{5}$ sont nuls.

6. Si $f$ admet un développement limité à l'ordre $2$ en $0$ , alors $f$ est deux fois dérivable en $0$ .

7. Si $f$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ , $f'(a) = 0$ et $f''(a) > 0$ , en un point $a$ intérieur à son intervalle de définition, alors $f$ admet en $a$ un minimum local strict.

8. Si $f$ est dérivable et admet un développement limité à l'ordre $n \geqslant 1$ en $0$ , alors $f'$ admet un développement limité à l'ordre $n - 1$ en $0$ .

9. On a $\ln(n!) \sim n\ln n$ .

10. Si $u_{n} \sim v_{n}$ et si $v_{n} > 0$ pour tout $n$ , alors $u_{n} > 0$ à partir d'un certain rang.

Corrigé

1. Faux. En $+\infty$ , $x^{2} + x \sim x^{2}$ , mais la différence $x$ tend vers $+\infty$ . L'équivalence contrôle l'écart relatif, non l'écart absolu.

2. Vrai. C'est la proposition 5 du cours.

3. Faux. $n + 1 \sim n$ , mais $\frac{\mathrm{e}^{n+1}}{\mathrm{e}^{n}} = \mathrm{e}$ : c'est l'exercice 8.

4. Vrai. C'est la transitivité de la proposition 3 : si $f = \varepsilon g$ et $g = Bh$ , alors $f = (\varepsilon B)h$ .

5. Vrai. C'est la proposition 9.

6. Faux. La fonction $x \mapsto x^{3}\sin\frac{1}{x}$ , prolongée par $0$ , vérifie $f(x) = o(x^{2})$ , mais n'est pas deux fois dérivable en $0$ : sa dérivée $f'(x) = 3x^{2}\sin\frac{1}{x} - x\cos\frac{1}{x}$ vérifie $\frac{f'(x) - f'(0)}{x} = 3x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$ , qui n'a pas de limite en $0$ .

7. Vrai. C'est la condition suffisante de la proposition 15.

8. Faux. Avec la même fonction, $f(x) = o(x^{2})$ , mais $\frac{f'(x)}{x} = 3x\sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$ n'a pas de limite : $f'$ n'admet pas de développement à l'ordre $1$ . On ne dérive pas un développement limité.

9. Vrai. La formule de Stirling donne $\ln(n!) = n\ln n - n + \frac{1}{2}\ln n + O(1)$ , et tous les termes après le premier sont négligeables devant $n\ln n$ . Sans Stirling, l'encadrement $n\ln n - n < \ln(n!) \leqslant n\ln n$ , que l'on peut obtenir en comparant à $\ln k$ , suffit.

10. Vrai. C'est la conservation du signe (proposition 5).

\boxed{\text{vrais : } 2, 4, 5, 7, 9, 10 ; \quad \text{faux : } 1, 3, 6, 8}

Énoncé PDF, p. 9 Corrigé PDF, p. 22 Toute la feuille Le cours

Dans l'édifice

Limites infinies et comparaison Dérivées successives et formule de Taylor-Lagrange Limite d'une fonction en un point Extremum local et dérivée nulle

Thèmes

équivalents, négligeabilité, développements limités, calcul de limites, extrema, factorielles

Notions

négligeable, formule de Taylor-Young, limite d'une fonction, extremum local, dérivées successives