Exercice 48

L'inégalité. Pour $t \geqslant 0$, on pose $h(t) = \frac{t^{3}}{6} - t + \sin t$. On a $h(0) = 0$ et $h'(t) = \frac{t^{2}}{2} - (1 - \cos t) \geqslant 0$, puisque $1 - \cos t = 2\sin^{2}\frac{t}{2} \leqslant \frac{t^{2}}{2}$. Ainsi $h \geqslant 0$, et comme $\sin t \leqslant t$, on obtient $0 \leqslant t - \sin t \leqslant \frac{t^{3}}{6}$. Par imparité, $|\sin t - t| \leqslant \frac{|t|^{3}}{6}$ pour tout réel $t$.

La somme. On a $\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{n^{2}} = \frac{n + 1}{2n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n}$, et l'erreur est majorée par $$\sum_{k=1}^{n} \frac{k^{3}}{6n^{6}} = \frac{n^{2}(n + 1)^{2}}{24n^{6}} = O\Big(\frac{1}{n^{2}}\Big).$$

$$\boxed{\sum_{k=1}^{n} \sin\frac{k}{n^{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2n} + O\Big(\frac{1}{n^{2}}\Big)}$$ Piège. Il ne suffit pas d'écrire $\sin\frac{k}{n^{2}} = \frac{k}{n^{2}} + o\Big(\frac{k}{n^{2}}\Big)$ et de sommer : $n$ restes $o(\cdot)$ ne forment pas nécessairement un $o$ de la somme. L'inégalité explicite fournit une majoration uniforme en $k$.