Exercice 56

1. On a $0 < \operatorname{th} u < u$ pour $u > 0$ (exercice 54) : par récurrence, $(u_{n})$ est strictement positive et décroissante. Elle converge vers $\ell \geqslant 0$ tel que $\operatorname{th}\ell = \ell$, donc $\boxed{\ell = 0}$.

2. Par quotient des développements de $\operatorname{sh}$ et de $\operatorname{ch}$ (proposition 12), $$\operatorname{th} u = u - \frac{u^{3}}{3} + \frac{2u^{5}}{15} + o(u^{6}), \qquad \operatorname{th}^{2}u = u^{2}\Big(1 - \frac{2u^{2}}{3} + \frac{17u^{4}}{45} + o(u^{4})\Big),$$ puis $$\frac{1}{\operatorname{th}^{2}u} = \frac{1}{u^{2}}\Big(1 + \frac{2u^{2}}{3} + \Big(\frac{4}{9} - \frac{17}{45}\Big)u^{4} + o(u^{4})\Big), \qquad \boxed{\frac{1}{\operatorname{th}^{2}u} - \frac{1}{u^{2}} = \frac{2}{3} + \frac{u^{2}}{15} + o(u^{2})}$$

3. Pour $\alpha > 0$, $\frac{1}{\operatorname{th}^{\alpha}u} - \frac{1}{u^{\alpha}} = \frac{1}{u^{\alpha}}\Big(\Big(1 - \frac{u^{2}}{3} + o(u^{2})\Big)^{-\alpha} - 1\Big) \sim \frac{\alpha}{3}u^{2 - \alpha}$, qui a une limite finie non nulle si et seulement si $\alpha = 2$. Avec $\alpha = 2$, la suite $\frac{1}{u_{n+1}^{2}} - \frac{1}{u_{n}^{2}}$ tend vers $\frac{2}{3}$, et le lemme de Cesàro donne $$\boxed{\alpha = 2, \qquad u_{n} \sim \sqrt{\frac{3}{2n}}}$$

4. On pose $d_{n} = \frac{1}{u_{n+1}^{2}} - \frac{1}{u_{n}^{2}} - \frac{2}{3}$. Par la question 2, $d_{n} = \frac{u_{n}^{2}}{15} + o(u_{n}^{2}) \sim \frac{1}{15} \cdot \frac{3}{2n} = \frac{1}{10n}$. Cette suite est positive à partir d'un certain rang, et l'exercice 11 donne $\sum_{k=0}^{n-1} d_{k} \sim \frac{\ln n}{10}$. Comme $\sum_{k=0}^{n-1} d_{k} = \frac{1}{u_{n}^{2}} - \frac{1}{u_{0}^{2}} - \frac{2n}{3}$, $$\boxed{\frac{1}{u_{n}^{2}} = \frac{2n}{3} + \frac{\ln n}{10} + o(\ln n)}$$ Enfin $u_{n} = \sqrt{\frac{3}{2n}}\Big(1 + \frac{3\ln n}{20n} + o\Big(\frac{\ln n}{n}\Big)\Big)^{-1/2}$, et $$\boxed{u_{n} = \sqrt{\frac{3}{2n}} - \frac{3}{40}\sqrt{\frac{3}{2}}\,\frac{\ln n}{n^{3/2}} + o\Big(\frac{\ln n}{n^{3/2}}\Big)}$$ À retenir. La démarche se généralise à toute suite $u_{n+1} = \varphi(u_{n})$ avec $\varphi(u) = u - cu^{p} + \cdots$ : on cherche l'exposant $\alpha$ qui rend $\frac{1}{u_{n}^{\alpha}}$ presque arithmétique, et c'est toujours $\alpha = p - 1$. Ici $p = 3$ ; pour l'exercice 45, $p = 2$ et $\alpha = 1$.