Exercice 5

1. La fonction sinus est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathbb{R}$, et $|\sin'| = |\cos| \leqslant 1$. La proposition 10 donne : $$\boxed{|\sin u - \sin v| \leqslant |u - v| \quad \text{pour tous réels } u, v}$$

2. Pour tout réel $x$, la fonction $t \mapsto f(t)\sin(xt)$ est continue sur $[a\,,b]$, donc $F(x)$ est bien défini. Pour $x$, $y$ réels, la linéarité, l'inégalité triangulaire et la question 1, appliquée à $u = xt$ et $v = yt$, donnent $$|F(x) - F(y)| = \Big|\int_{a}^{b} f(t)\big(\sin(xt) - \sin(yt)\big)\,\mathrm{d} t\Big| \leqslant \int_{a}^{b} |f(t)|\,|t|\,|x - y|\,\mathrm{d} t.$$

$$\boxed{|F(x) - F(y)| \leqslant K|x - y|, \qquad K = \int_{a}^{b} |t\,f(t)|\,\mathrm{d} t}$$ La constante $K$ ne dépend ni de $x$ ni de $y$ : $F$ est $K$-lipschitzienne sur $\mathbb{R}$. Pour $f = 1$ sur $[0\,,1]$, on trouve $F(x) = \frac{1 - \cos x}{x}$ pour $x \neq 0$, $F(0) = 0$ et $K = \frac{1}{2}$ ; comme $\frac{F(x) - F(0)}{x} = \frac{1 - \cos x}{x^{2}}$ tend vers $\frac{1}{2}$ en $0$ (chapitre 10), aucune constante plus petite ne convient dans ce cas.

À retenir. La majoration se fait sous le signe intégrale, point par point en $t$, avant d'intégrer : c'est la croissance de l'intégrale qui transporte une inégalité entre fonctions en une inégalité entre intégrales.