Exercice 6

1. Sur $[0\,,\frac{1}{n}[$, la fonction $f_{n}$ est affine, donc continue, et sa limite à gauche en $\frac{1}{n}$ vaut $2n(1 - 1) = 0$ ; sur $[\frac{1}{n}\,,1]$, elle est nulle. Les deux expressions se raccordent en $\frac{1}{n}$, où $f_{n}$ vaut $0$, et $f_{n}$ est continue sur $[0\,,1]$. Son intégrale est l'aire d'un triangle de base $\frac{1}{n}$ et de hauteur $2n$ ; par le calcul, $$\boxed{\int_{0}^{1} f_{n} = \int_{0}^{1/n} 2n(1 - nx)\,\mathrm{d} x + \int_{1/n}^{1} 0\,\mathrm{d} x = 2n\Big[x - \frac{nx^{2}}{2}\Big]_{0}^{1/n} = 2n \times \frac{1}{2n} = 1}$$

2. Soit $x \in \,]0\,,1]$. Pour $n > \frac{1}{x}$, on a $\frac{1}{n} < x$, donc $f_{n}(x) = 0$ : la suite $\big(f_{n}(x)\big)$ est nulle à partir du rang $\lfloor \frac{1}{x} \rfloor + 1$. En revanche, $$\boxed{f_{n}(x) = 0 \text{ pour } n > \frac{1}{x}, \qquad f_{n}(0) = 2n \xrightarrow[n \to +\infty]{} +\infty}$$

3. La fonction $g$ ne diffère de la fonction nulle qu'au point $0$ : elle est en escalier, et son intégrale est nulle par la proposition 6. Ainsi $$\boxed{\lim_{n \to +\infty} \int_{0}^{1} f_{n} = 1 \neq 0 = \int_{0}^{1} g}$$ On ne peut donc pas intervertir limite et intégrale, même lorsque $f_{n}(x)$ tend vers $g(x)$ en tout point de $]0\,,1]$. Les fonctions $f_{n}$ tendent vers $0$ en chaque point de $]0\,,1]$, mais leur masse, toujours égale à $1$, se concentre sur des intervalles de plus en plus courts près de $0$.

À retenir. Une interversion légitime demande un contrôle uniforme : si $|f_{n}(x) - g(x)| \leqslant \varepsilon_{n}$ pour tout $x \in [0\,,1]$, avec $\varepsilon_{n} \to 0$, l'inégalité triangulaire donne $\big|\int_{0}^{1} f_{n} - \int_{0}^{1} g\big| \leqslant \varepsilon_{n}$, qui tend vers $0$. Ici, $\max|f_{n}| = 2n$ ne tend pas vers $0$. Les exercices 10 et 11 contourneront la difficulté en coupant l'intervalle d'intégration.