Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 18

Intégration

56 exercices corrigés · 10   27   15   4

Fonctions en escalier et fonctions continues par morceaux

• Exercice 1 1. Soit m < n deux entiers relatifs. Justifier que la restriction de la partie entière à [m,n] est une fonction en escalier, en donnant une…
• Exercice 2 Lemme de Riemann-Lebesgue. Pour f ∈ C_m([a,b], K) et n ∈ ℕ, on pose u_n(f) = ∫_a^b f(t) e^(i nt) d t. On veut montrer que la suite (u_n(f)) tend…

Intégrale d'une fonction continue par morceaux

• Exercice 3 Soit a < b < c trois réels et f: [a,c] → ℝ une fonction continue. Montrer que 1/(c - a) ∫_a^c f ≤ max (1/(b - a) ∫_a^b f, 1/(c - b) ∫_b^c f), et…
• Exercice 4 1. Sans chercher de primitive, montrer que (ln 2)/(√3) ≤ ∫_(π/6)^(π/3) (tan x)/x d x ≤ √3 ln 2. 2. Pour n ≥ 1, on pose I_n = ∫_0^1 (t^nsin (nt))/(1…
• Exercice 5 1. Montrer que |sin u - sin v| ≤ |u - v| pour tous réels u et v. 2. Soit f: [a,b] → ℝ continue. Pour tout réel x, on pose F(x) = ∫_a^b f(t)sin (xt)…
• Exercice 6 Pour tout entier n ≥ 1, on définit f_n: [0,1] → ℝ par f_n(x) = 2n(1 - nx) si 0 ≤ x < 1/n, et f_n(x) = 0 sinon. La figure représente f_1, f_2 et f_4:…
• Exercice 7 1. Soit f: [a,b] → ℝ continue telle que |f| ≤ 1 et ∫_a^b f = b - a. Que dire de f ? 2. Déterminer les fonctions f: [0,1] → [0,1] continues telles…
• Exercice 8 1. Soit f: [0,1] → ℝ continue et positive, telle que ∫_0^1 f ≤ 1/2. Montrer que f admet un point fixe. 2. L'hypothèse de positivité est-elle utile ?
• Exercice 9 1. Soit f: [a,b] → ℝ continue telle que |∫_a^b f | = ∫_a^b |f|. Montrer que f garde un signe constant sur [a,b]. 2. Soit f: [0,1] → ℂ continue telle…
• Exercice 10 Déterminer la limite des suites de termes généraux suivants, en encadrant chaque intégrale. (a) ∫_0^1 x^nln (1 + x) d x (b) ∫_0^n (d t)/(1 + e^nt)…
• Exercice 11 Soit f: [0,1] → ℝ continue. Déterminer la limite de la suite de terme général ∫_0^1 f(x^n) d x. On pourra, pour α ∈ ]0,1[, couper l'intégrale en α.
• Exercice 12 1. Soit f: [0,+∞[ → ℝ continue, admettant une limite finie ell en +∞. Montrer que 1/x ∫_0^x f(t) d t xrightarrow [x → +∞] ell. 2. Soit f: ℝ → ℝ…
• Exercice 13 Soit f: [0,π] → ℝ continue telle que ∫_0^π f(t)sin t d t = ∫_0^π f(t)cos t d t = 0. 1. Montrer que f s'annule au moins deux fois sur l'intervalle…
• Exercice 14 Soit n ≥ 1 et f: [a,b] → ℝ continue, non identiquement nulle, telle que ∫_a^b t^kf(t) d t = 0 pour tout k ∈ [ [0;n - 1] ]. On veut montrer que f…
• Exercice 15 Inégalités de Hölder et de Minkowski. Pour p ≥ 1 et f ∈ C_m([0,1], ℝ), on pose N_p(f) = (∫_0^1 |f|^p)^(1/p). 1. Soit f continue sur [0,1]. Montrer…

Intégrale et primitives

• Exercice 16 1. Calculer les intégrales suivantes. (a) ∫_2^3 (t + 1)/(t(t - 1)^3) d t (b) ∫_0^1 (t^4)/(t^2 + 2t + 5) d t (c) ∫_2^3 (x^2 + x + 1)/(x^3 + 1) d x…
• Exercice 17 1. Soit f: [-1,1] → ℝ continue. Déterminer les limites, quand x tend vers 0, de 1/x ∫_0^x f(t) d t et 1/(x^2) ∫_0^x t f(t) d t. 2. Que deviennent…
• Exercice 18 Calculer les intégrales suivantes. (a) ∫_0^(π/4) ln (1 + tan x) d x. (b) ∫_(1/x)^x (ln t)/(1 + t^2) d t pour tout réel x > 0. (c) ∫_(-2)^2 sin t…
• Exercice 19 1. Montrer que la fonction x ↦ (xln x)/((x^2 + 1)^2), définie sur ]0,1], se prolonge en une fonction continue sur [0,1], puis calculer son intégrale…
• Exercice 20 Pour tout n ∈ ℕ et tout réel x, on pose I_n(x) = ∫_0^x (d t)/((t^2 + 1)^(n + 1)). 1. Exprimer I_(n + 1)(x) en fonction de I_n(x). 2. Montrer que,…
• Exercice 21 1. Soit f et g deux fonctions continues sur [a,b]. Montrer qu'il existe θ ∈ [a,b] tel que f(θ)∫_θ^b g = g(θ)∫_a^θ f. On pourra étudier la fonction x…
• Exercice 22 Soit f: [a,b] → ℝ continue. Pour tout réel x, on pose F(x) = ∫_a^b |t - x| f(t) d t. Montrer que F est de classe C^1 sur ℝ, en calculant F', puis…
• Exercice 23 Pour tout réel x, on pose f(x) = ∫_0^sin ^2 x Arcsin√t d t + ∫_0^cos ^2 x Arccos√t d t. Justifier que f est dérivable sur ℝ, calculer f', et en…
• Exercice 24 1. Pour x > 0, on pose f(x) = ∫_x^2x (e^(-t))/t d t. (a) Justifier que f est de classe C^1 sur ]0,+∞[, calculer f' et en déduire les variations de…
• Exercice 25 1. Montrer que, pour tout réel x, il existe un unique réel y tel que ∫_x^y e^t^2 d t = 1. 2. On note φ(x) ce réel. Montrer que la fonction φ est de…
• Exercice 26 On note E = C(ℝ, ℝ) le ℝ -espace vectoriel des fonctions continues de ℝ dans ℝ. 1. Pour f ∈ E, on note P_0(f) la fonction x ↦ ∫_0^x f(t) d t.…
• Exercice 27 Soit f: [1,2] → [2,3] une bijection continue et strictement croissante. On veut montrer que ∫_1^2 f + ∫_2^3 f^(-1) = 4. Sur la figure, l'aire…
• Exercice 28 Une intégrale calculée sans primitive. Pour x ∈ ]0,1[, on pose f(x) = ∫_x^x^2 (d t)/(ln t), et l'on pose f(0) = 0. 1. Justifier que f est bien…
• Exercice 29 Soit f: [0,1] → ℝ continue. Pour n ∈ ℕ, on pose u_n = ∫_0^1 t^nf(t) d t. 1. Montrer que la suite (u_n) tend vers 0. 2. On suppose de plus que f est…
• Exercice 30 Pour n ∈ ℕ, on pose I_n = ∫_0^(π/2) t/(cos (nt/(n + 1))) d t. 1. Justifier l'existence de I_n, et montrer que la suite (I_n) est monotone. 2.…
• Exercice 31 Soit f: [0,2π] → ℝ une fonction convexe de classe C^1. Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, a_n = ∫_0^2π f(t)cos (nt) d t ≥ 0. On pourra découper…

Formules de Taylor globales

• Exercice 32 À l'aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer les encadrements suivants. (a) Pour tout x ≥ 0, x - (x^2)/2 ≤ ln (1 + x) ≤ x - (x^2)/2…
• Exercice 33 1. Montrer que, pour tout réel a > 0, |cos a - 1 + (a^2)/2 - (a^4)/24 | ≤ (a^5)/120, et en déduire que 337/384 - 1/3840 ≤ cos 1/2 ≤ 337/384 +…
• Exercice 34 En appliquant la formule de Taylor avec reste intégral à la fonction x ↦ ln (1 + x^2) entre 0 et 1, à un ordre que l'on choisira, montrer que ∫_0^1…
• Exercice 35 1. À l'aide de la formule de Taylor avec reste intégral, montrer que x^2 - (x^4)/3 ≤ sin ^2 x ≤ x^2 pour tout x ∈ [0,1]. 2. En déduire la limite de…
• Exercice 36 Soit f: ℝ → ℝ de classe C^∞, et P ∈ ℝ[X] un polynôme de degré impair tel que |f^((n))(x) | ≤ |P(x)| pour tout n ∈ ℕ et tout réel x. 1. Montrer que f…
• Exercice 37 Soit f: ℝ → ℝ de classe C^∞ telle que f(0) = 0, et g la fonction définie sur ℝ^() par g(x) = (f(x))/x. 1. Montrer que g se prolonge par continuité…

Sommes de Riemann et calcul approché

• Exercice 38 Déterminer les limites des suites de termes généraux suivants. (a) 1/n Σ_(k=0)^(n-1) sin kπ/n (b) Σ_(k=0)^(n-1) k/(n^2 + k^2) (c) 1/(n^2) Σ_(k=1)^n…
• Exercice 39 1. Déterminer les limites des suites de termes généraux suivants, en prenant garde à l'intervalle d'intégration. Σ_(k=1)^3n n/(n^2 + k^2),…
• Exercice 40 Soit f, g: [0,1] → ℝ continues. 1. Déterminer la limite de S_n = 1/(n^2) Σ_(1 ≤ k, ell ≤ n) f (k/n)f (ell/n), puis celle de T_n = 1/(n^2) Σ_(1 ≤ k ≤…
• Exercice 41 Inégalité de Jensen intégrale. Soit f: [a,b] → ℝ continue et φ: ℝ → ℝ continue et convexe. À l'aide de sommes de Riemann et de l'inégalité de Jensen…
• Exercice 42 Soit f: [0,1] → ℝ de classe C^2 et I = ∫_0^1 f. Déterminer la limite de n (I - 1/n Σ_(k=0)^(n-1) f (k/n)) = nI - Σ_(k=0)^(n-1) f (k/n). On pourra…
• Exercice 43 Soit f: [0,1] → ℝ continue. Déterminer la limite de Π_(k=1)^n (1 + 1/n f (k/n)) quand n tend vers +∞. On pourra montrer que |ln (1 + u) - u| ≤ 2u^2…
• Exercice 44 Soit f: [a,b] → ℝ continue, à valeurs strictement positives, et I = ∫_a^b f. 1. Montrer que I > 0. 2. Soit n ≥ 1. Montrer qu'il existe une unique…
• Exercice 45 Inégalités de Hermite-Hadamard et méthode du point milieu. Soit f: [a,b] → ℝ et m = (a + b)/2. 1. On suppose f continue et convexe. Montrer que f(m)…

Intégrales de Wallis et constante de Stirling

• Exercice 46 Pour tout n ∈ ℕ, on pose a_n = ∫_0^1 t^n√(1 - t^2) d t. 1. Calculer a_0 et a_1. 2. Montrer que la suite (a_n) est monotone, puis convergente, et…
• Exercice 47 Les intégrales de Wallis donnent la limite de Σ_(k=1)^n 1/(k^2). Pour tout n ∈ ℕ, on pose a_n = ∫_0^(π/2) cos ^n t d t et b_n = ∫_0^(π/2) t^2cos ^2n…

Exercices de synthèse

• Exercice 48 Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple. 1. Une fonction bornée sur [0,1], continue en tout point sauf en…
• Exercice 49 Une récurrence instable. Pour tout n ∈ ℕ, on pose I_n = ∫_0^1 e^x(1 - x)^n d x. 1. Calculer I_0, et montrer que I_(n+1) = (n + 1)I_n - 1 pour tout n…
• Exercice 50 Une formule de quadrature exacte. Soit n ∈ ℕ. 1. Montrer qu'il existe un unique (n + 1) -uplet (λ_0, …, λ_n) ∈ ℝ^(n+1) tel que, pour tout polynôme P…
• Exercice 51 Une intégrale calculée par un produit. Soit θ un réel différent de 1 et de -1. 1. Pour t réel, factoriser dans ℂ[X] le polynôme X^2 - 2Xcos t + 1.…
• Exercice 52 Le nombre π est irrationnel. On suit ici une démonstration publiée par Ivan Niven en 1947. On suppose par l'absurde que π = a/b, avec a et b entiers…
• Exercice 53 Soit a < b. Montrer que, pour tout ε > 0, il existe un réel D > 0 tel que, pour toute fonction f: [a,b] → ℝ de classe C^1, max _([a, b]) f^2 ≤…
• Exercice 54 Soit f: [0,1] → [0,1] une fonction de classe C^1 dont la dérivée est croissante. On appelle longueur de la courbe de f le réel L = ∫_0^1 √(1 +…
• Exercice 55 Soit P ∈ ℂ[X] un polynôme non nul qui n'admet aucune racine de module 1. Montrer que 1/2π ∫_0^2π (e^(i x) P'(e^(i x)))/(P(e^(i x))) d x est égal au…
• Exercice 56 Soit f: [0,1] → ℝ continue. Montrer que ∫_(-1/2)^(3/2) f(3x^2 - 2x^3) d x = 2∫_0^1 f(3x^2 - 2x^3) d x.