Exercice 17

1. La fonction $F : x \mapsto \int_{0}^{x} f$ est dérivable de dérivée $f$ (théorème 6), et $F(0) = 0$ : la quantité $\frac{1}{x}\int_{0}^{x} f = \frac{F(x) - F(0)}{x}$ est un taux d'accroissement, qui tend vers $F'(0) = f(0)$. Pour la seconde limite, on utilise $\int_{0}^{x} t\,\mathrm{d} t = \frac{x^{2}}{2}$ pour écrire $$\frac{1}{x^{2}}\int_{0}^{x} t f(t)\,\mathrm{d} t - \frac{f(0)}{2} = \frac{1}{x^{2}}\int_{0}^{x} t\big(f(t) - f(0)\big)\,\mathrm{d} t.$$ Soit $\varepsilon > 0$, et $\delta > 0$ tel que $|f(t) - f(0)| \leqslant \varepsilon$ pour $|t| \leqslant \delta$. Pour $0 < |x| \leqslant \delta$, l'inégalité triangulaire, écrite avec la valeur absolue extérieure puisque $x$ peut être négatif, donne $$\Big|\frac{1}{x^{2}}\int_{0}^{x} t\big(f(t) - f(0)\big)\,\mathrm{d} t\Big| \leqslant \frac{1}{x^{2}}\Big|\int_{0}^{x} |t|\,\varepsilon\,\mathrm{d} t\Big| = \frac{\varepsilon}{2}.$$

$$\boxed{\frac{1}{x}\int_{0}^{x} f(t)\,\mathrm{d} t \xrightarrow[x \to 0]{} f(0), \qquad \frac{1}{x^{2}}\int_{0}^{x} t\,f(t)\,\mathrm{d} t \xrightarrow[x \to 0]{} \frac{f(0)}{2}}$$ La même méthode redonne la première limite, en écrivant $\frac{1}{x}\int_{0}^{x} f - f(0) = \frac{1}{x}\int_{0}^{x} \big(f(t) - f(0)\big)\,\mathrm{d} t$.

2. Si $f$ est seulement continue par morceaux, $0$ est soit un point intérieur d'un intervalle ouvert de la subdivision, où $f$ est continue, soit un point de la subdivision. Dans les deux cas, $f$ admet en $0$ une limite à droite $f(0^{+})$ et une limite à gauche $f(0^{-})$, finies, et la valeur $f(0)$ ne joue aucun rôle dans les intégrales (proposition 6). Pour $x > 0$, la méthode de la question 1 s'applique en remplaçant $f(0)$ par $f(0^{+})$ : si $|f(t) - f(0^{+})| \leqslant \varepsilon$ pour $0 < t \leqslant \delta$, alors $\big|\frac{1}{x}\int_{0}^{x} f - f(0^{+})\big| \leqslant \varepsilon$ pour $0 < x \leqslant \delta$, et de même pour la seconde quantité ; à gauche, on remplace $f(0)$ par $f(0^{-})$. $$\boxed{\text{limites à droite } f(0^{+}) \text{ et } \frac{f(0^{+})}{2}, \qquad \text{limites à gauche } f(0^{-}) \text{ et } \frac{f(0^{-})}{2}}$$ Ces quantités ont donc une limite en $0$ si et seulement si $f(0^{+}) = f(0^{-})$, c'est-à-dire si $f$ se prolonge par continuité en $0$ ; la limite est alors la valeur commune, et non nécessairement $f(0)$. Par exemple, pour $f$ égale à $0$ sur $[-1\,,0[$ et à $1$ sur $[0\,,1]$, on a $\frac{1}{x}\int_{0}^{x} f = 1$ pour $x > 0$ et $0$ pour $x < 0$.

À retenir. La première limite redit le théorème 6 : la moyenne de $f$ sur $[0\,,x]$ tend vers la valeur en $0$. Pour une fonction continue par morceaux, elle tend vers la limite latérale, ce qui explique la remarque du cours après le théorème 6 : en un point de discontinuité, $x \mapsto \int_{0}^{x} f$ a des dérivées à gauche et à droite différentes.