Exercice 18

(a) La fonction $x \mapsto \ln(1 + \tan x)$ est continue sur $\big[0\,,\frac{\pi}{4}\big]$, où $\tan x \geqslant 0$, mais on ne lui connaît pas de primitive simple. On effectue le changement de variable $x = \frac{\pi}{4} - u$ (chapitre 6, proposition 5), qui échange les bornes $0$ et $\frac{\pi}{4}$. Il est suggéré par la formule d'addition (chapitre 4) $$\tan\Big(\frac{\pi}{4} - u\Big) = \frac{1 - \tan u}{1 + \tan u}, \qquad\text{d'où}\qquad 1 + \tan\Big(\frac{\pi}{4} - u\Big) = \frac{2}{1 + \tan u},$$ qui transforme $\ln(1 + \tan x)$ en $\ln 2 - \ln(1 + \tan u)$. En notant $I$ l'intégrale, et avec $\mathrm{d} x = -\mathrm{d} u$, $$I = \int_{\pi/4}^{0} \ln\Big(1 + \tan\Big(\frac{\pi}{4} - u\Big)\Big)(-\mathrm{d} u) = \int_{0}^{\pi/4} \big(\ln 2 - \ln(1 + \tan u)\big)\,\mathrm{d} u = \frac{\pi}{4}\ln 2 - I.$$

(b) Les bornes $\frac{1}{x}$ et $x$ sont échangées par $t \mapsto \frac{1}{t}$, qui change $\ln t$ en son opposé : on effectue le changement de variable $t = \frac{1}{u}$, de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $]0\,,+\infty[$. Avec $\mathrm{d} t = -\frac{\mathrm{d} u}{u^{2}}$ et $1 + \frac{1}{u^{2}} = \frac{u^{2} + 1}{u^{2}}$, l'élément $\frac{\mathrm{d} t}{1 + t^{2}}$ devient $-\frac{\mathrm{d} u}{1 + u^{2}}$. En notant $J$ l'intégrale, $$J = \int_{x}^{1/x} \frac{-\ln u}{1 + u^{2}}\,(-1)\,\mathrm{d} u = \int_{x}^{1/x} \frac{\ln u}{1 + u^{2}}\,\mathrm{d} u = -J.$$

$$\boxed{\int_{1/x}^{x} \frac{\ln t}{1 + t^{2}}\,\mathrm{d} t = 0 \quad \text{pour tout } x > 0}$$ Par la relation de Chasles, cela revient à dire que $\int_{1/x}^{1} \frac{\ln t}{1 + t^{2}}\,\mathrm{d} t = -\int_{1}^{x} \frac{\ln t}{1 + t^{2}}\,\mathrm{d} t$ : la partie négative, sur $\big[\frac{1}{x}\,,1\big]$, compense exactement la partie positive.

(c) La fonction $t \mapsto \sin t\;\mathrm{e}^{-t^{4}}$ est continue et impaire, produit d'une fonction impaire et d'une fonction paire, et l'intervalle $[-2\,,2]$ est symétrique : par la proposition 6 du chapitre 6, qui repose sur le changement de variable $t = -u$, $$\boxed{\int_{-2}^{2} \sin t\;\mathrm{e}^{-t^{4}}\,\mathrm{d} t = 0}$$ On ne connaît d'ailleurs aucune primitive simple de cette fonction : la symétrie est ici le seul moyen de calcul.

(d) La puissance impaire de $\sin x$ suggère le changement de variable $u = \cos x$ : on met de côté un facteur $\sin x$, qui fournit $-\mathrm{d} u$, et l'on exprime le reste en fonction de $\cos x$, puisque $\sin^{2}x = 1 - \cos^{2}x$. Quand $x$ va de $0$ à $\frac{\pi}{2}$, $u$ va de $1$ à $0$ : $$\int_{0}^{\pi/2} \frac{\sin^{3}x}{\sqrt{2 + \cos x}}\,\mathrm{d} x = \int_{0}^{\pi/2} \frac{(1 - \cos^{2}x)\sin x}{\sqrt{2 + \cos x}}\,\mathrm{d} x = \int_{0}^{1} \frac{1 - u^{2}}{\sqrt{2 + u}}\,\mathrm{d} u.$$ Le changement de variable affine $w = 2 + u$ simplifie la racine : $1 - u^{2} = 1 - (w - 2)^{2} = -w^{2} + 4w - 3$, et $$\int_{2}^{3} \big(-w^{3/2} + 4w^{1/2} - 3w^{-1/2}\big)\,\mathrm{d} w = \Big[-\frac{2}{5}w^{5/2} + \frac{8}{3}w^{3/2} - 6w^{1/2}\Big]_{2}^{3} = -\frac{8\sqrt{3}}{5} + \frac{34\sqrt{2}}{15}.$$

(e) Sur $\big[0\,,\frac{1}{2}\big]$, $\operatorname{Arcsin} x \geqslant 0$ et $1 - x^{2} > 0$, donc la fonction intégrée s'écrit $\sqrt{\operatorname{Arcsin} x} \times \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$. Le second facteur est la dérivée de $\operatorname{Arcsin}$ : c'est le changement de variable $u = \operatorname{Arcsin} x$, ou, ce qui revient au même, la reconnaissance d'une dérivée composée $u'\sqrt{u}$ (chapitre 6, proposition 3). Une primitive est $x \mapsto \frac{2}{3}(\operatorname{Arcsin} x)^{3/2}$, et $\operatorname{Arcsin}\frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$. $$\boxed{\int_{0}^{1/2} \sqrt{\frac{\operatorname{Arcsin} x}{1 - x^{2}}}\,\mathrm{d} x = \frac{2}{3}\Big(\frac{\pi}{6}\Big)^{3/2} \approx 0{,}2526}$$ À retenir. En (a), (b) et (c), on calcule une intégrale sans en connaître de primitive : un changement de variable qui conserve l'intervalle d'intégration transforme l'intégrale en une expression où elle réapparaît, et l'on résout une équation. On reconnaît ce cas à une symétrie de l'intervalle, $x \mapsto \frac{\pi}{4} - x$, $t \mapsto \frac{1}{t}$ ou $t \mapsto -t$, qui transforme simplement la fonction intégrée. L'erreur la plus répandue est d'oublier le signe de $\mathrm{d} x = -\mathrm{d} u$ en même temps que l'échange des bornes : les deux se compensent.