Exercice 3

Notons $\mu_{1} = \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f$ et $\mu_{2} = \frac{1}{c - b}\int_{b}^{c} f$ les valeurs moyennes de $f$ sur $[a\,,b]$ et sur $[b\,,c]$. Par la relation de Chasles, $$\frac{1}{c - a}\int_{a}^{c} f = \frac{(b - a)\mu_{1} + (c - b)\mu_{2}}{c - a} = \lambda\mu_{1} + (1 - \lambda)\mu_{2}, \qquad \lambda = \frac{b - a}{c - a} \in \,]0\,,1[.$$ Comme $\lambda\mu_{1} + (1 - \lambda)\mu_{2} \leqslant \lambda\max(\mu_{1}, \mu_{2}) + (1 - \lambda)\max(\mu_{1}, \mu_{2})$, on obtient l'inégalité demandée. $$\boxed{\frac{1}{c - a}\int_{a}^{c} f = \frac{b - a}{c - a}\,\mu_{1} + \frac{c - b}{c - a}\,\mu_{2} \leqslant \max(\mu_{1}, \mu_{2})}$$ La valeur moyenne sur $[a\,,c]$ est le barycentre des valeurs moyennes sur $[a\,,b]$ et sur $[b\,,c]$, affectées des longueurs de ces intervalles : elle est comprise entre les deux, et plus proche de celle du plus long intervalle. C'est l'analogue de la moyenne d'une classe formée de deux groupes, qui est la moyenne des deux moyennes pondérées par les effectifs.

Piège. La continuité de $f$ ne sert pas : l'égalité n'utilise que la relation de Chasles, valable pour toute fonction continue par morceaux. L'erreur la plus répandue est d'écrire que la moyenne sur $[a\,,c]$ est $\frac{\mu_{1} + \mu_{2}}{2}$, ce qui n'est vrai que si $b$ est le milieu de $[a\,,c]$.