Exercice 2

1. On intègre par parties (chapitre 6, proposition 4), en dérivant $f$ et en intégrant $t \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i} nt}$. C'est le choix naturel : la primitive $\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} nt}}{\mathrm{i} n}$ fait apparaître le facteur $\frac{1}{n}$ cherché, et l'hypothèse $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ est exactement ce qu'il faut pour dériver $f$. Pour $n \geqslant 1$, $$u_{n}(f) = \Big[f(t)\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} nt}}{\mathrm{i} n}\Big]_{a}^{b} - \frac{1}{\mathrm{i} n}\int_{a}^{b} f'(t)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} nt}\,\mathrm{d} t.$$ Comme $|\mathrm{e}^{\mathrm{i} nt}| = 1$, l'inégalité triangulaire complexe (théorème 5) donne $$\boxed{|u_{n}(f)| \leqslant \frac{C}{n}, \qquad C = |f(a)| + |f(b)| + \int_{a}^{b} |f'(t)|\,\mathrm{d} t}$$ et $u_{n}(f)$ tend vers $0$ par encadrement.

2. La fonction $t \mapsto f(t)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i} nt}$ est nulle sur $[a\,,\alpha[$ et sur $]\beta\,,b]$, et égale à $\mathrm{e}^{\mathrm{i} nt}$ sur $[\alpha\,,\beta]$. Par la relation de Chasles et la proposition 6, appliquée aux parties réelle et imaginaire sur $[a\,,\alpha]$ et sur $[\beta\,,b]$, et puisque $t \mapsto \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} nt}}{\mathrm{i} n}$ est une primitive de $t \mapsto \mathrm{e}^{\mathrm{i} nt}$ (théorème 6), $$\boxed{u_{n}(f) = \int_{\alpha}^{\beta} \mathrm{e}^{\mathrm{i} nt}\,\mathrm{d} t = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} n\beta} - \mathrm{e}^{\mathrm{i} n\alpha}}{\mathrm{i} n}, \qquad |u_{n}(f)| \leqslant \frac{2}{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$$ Soit maintenant $\varphi \in \mathcal{E}([a\,,b], \mathbb{K})$, $(x_{0}, \dots, x_{p})$ une subdivision adaptée et $c_{i}$ la valeur de $\varphi$ sur $]x_{i - 1}\,,x_{i}[$. La fonction $\varphi$ ne diffère de $\sum_{i = 1}^{p} c_{i}\mathbf{1}_{[x_{i - 1}, x_{i}]}$ qu'aux points $x_{k}$, où $\mathbf{1}_{J}$ désigne la fonction égale à $1$ sur $J$ et à $0$ ailleurs. La proposition 6, appliquée aux parties réelle et imaginaire, et la linéarité de l'intégrale (proposition 8) donnent $$u_{n}(\varphi) = \sum_{i = 1}^{p} c_{i}\,u_{n}\big(\mathbf{1}_{[x_{i - 1}, x_{i}]}\big), \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{|u_{n}(\varphi)| \leqslant \frac{2}{n}\sum_{i = 1}^{p} |c_{i}| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$$

3. Le théorème 1, appliqué avec $\frac{\varepsilon}{b - a}$, fournit $\varphi$, $\psi \in \mathcal{E}([a\,,b], \mathbb{R})$ telles que $\varphi \leqslant f \leqslant \psi$ et $\psi - \varphi \leqslant \frac{\varepsilon}{b - a}$. Par linéarité et par le théorème 5, pour tout $n$, $$|u_{n}(f) - u_{n}(\varphi)| = \Big|\int_{a}^{b} \big(f(t) - \varphi(t)\big)\mathrm{e}^{\mathrm{i} nt}\,\mathrm{d} t\Big| \leqslant \int_{a}^{b} (f - \varphi) \leqslant \int_{a}^{b} (\psi - \varphi) \leqslant \varepsilon.$$ Par la question 2, il existe $n_{0}$ tel que $|u_{n}(\varphi)| \leqslant \varepsilon$ pour $n \geqslant n_{0}$ ; alors $|u_{n}(f)| \leqslant 2\varepsilon$ pour $n \geqslant n_{0}$. Ceci valant pour tout $\varepsilon > 0$, $u_{n}(f)$ tend vers $0$. Si $f$ est à valeurs complexes, $\operatorname{Re} f$ et $\operatorname{Im} f$ sont continues par morceaux et réelles, et $u_{n}(f) = u_{n}(\operatorname{Re} f) + \mathrm{i}\,u_{n}(\operatorname{Im} f)$ par linéarité. $$\boxed{u_{n}(f) \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \quad \text{pour toute } f \in \mathcal{C}_{m}([a\,,b], \mathbb{K})}$$

4. Pour $f$ réelle, la proposition 8 donne $$\operatorname{Re} u_{n}(f) = \int_{a}^{b} f(t)\cos(nt)\,\mathrm{d} t \qquad\text{et}\qquad \operatorname{Im} u_{n}(f) = \int_{a}^{b} f(t)\sin(nt)\,\mathrm{d} t,$$ et ces deux nombres sont majorés en valeur absolue par $|u_{n}(f)|$. $$\boxed{\int_{a}^{b} f(t)\cos(nt)\,\mathrm{d} t \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0 \qquad\text{et}\qquad \int_{a}^{b} f(t)\sin(nt)\,\mathrm{d} t \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$$ La première question ne suffisait pas, parce qu'une fonction continue par morceaux n'est en général pas de classe $\mathcal{C}^{1}$ : la fonction $\mathbf{1}_{[\alpha, \beta]}$ de la question 2 n'est même pas continue, et une fonction continue comme $t \mapsto |t - c|$ n'est pas dérivable en $c$.

À retenir. C'est le schéma type d'un argument de densité : on démontre le résultat pour une classe simple de fonctions (les indicatrices de segments, puis les fonctions en escalier), et l'on passe aux fonctions continues par morceaux grâce au théorème 1 et à une majoration uniforme en $n$. Le prix à payer est la perte de la vitesse : on sait que $u_{n}(f)$ tend vers $0$, mais plus à quelle vitesse. L'exercice 31 étudiera le signe de ces intégrales pour une fonction convexe.