Exercice 4

1. On ne cherche pas de primitive de $x \mapsto \frac{\tan x}{x}$ : on encadre le facteur $\tan x$, qui varie peu, et l'on garde le facteur $\frac{1}{x}$, dont on connaît une primitive. La tangente est croissante sur $\big[\frac{\pi}{6}\,,\frac{\pi}{3}\big]$, de $\frac{1}{\sqrt{3}}$ à $\sqrt{3}$, et $\frac{1}{x} > 0$, donc $$\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{x} \leqslant \frac{\tan x}{x} \leqslant \sqrt{3}\cdot\frac{1}{x} \qquad \Big(\frac{\pi}{6} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{3}\Big).$$ La croissance de l'intégrale (théorème 3), avec $\int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\mathrm{d} x}{x} = \ln\frac{\pi/3}{\pi/6} = \ln 2$, donne l'encadrement. $$\boxed{\frac{\ln 2}{\sqrt{3}} \leqslant \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\tan x}{x}\,\mathrm{d} x \leqslant \sqrt{3}\,\ln 2}$$ Numériquement, l'intégrale vaut environ $0{,}6842$, entre $0{,}4002$ et $1{,}2006$ ✓. L'encadrement est grossier, d'un facteur $3$, parce que $\tan x$ triple sur l'intervalle ; on l'affinerait en coupant l'intervalle en plusieurs morceaux, ce qui est l'idée des sommes de Riemann de la section 18.6.

2. Pour $t \in [0\,,1]$, on a $|\sin(nt)| \leqslant 1$ et $1 + t^{3} \geqslant 1$, donc $\Big|\frac{t^{n}\sin(nt)}{1 + t^{3}}\Big| \leqslant t^{n}$. L'inégalité triangulaire et la croissance de l'intégrale donnent $$\boxed{|I_{n}| \leqslant \int_{0}^{1} t^{n}\,\mathrm{d} t = \frac{1}{n + 1}, \qquad I_{n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$$ Piège. Le facteur $\sin(nt)$ n'est pour rien dans la convergence : c'est $t^{n}$, petit sauf près de $1$, qui écrase l'intégrale. L'erreur la plus répandue est d'écrire $|I_{n}| \leqslant \int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} t}{1 + t^{3}}$, majoration exacte mais inutile, puisqu'elle ne dépend pas de $n$.