Exercice 34

On applique la formule de Taylor avec reste intégral (théorème 7) à $f(x) = \ln(1 + x^{2})$, en $0$ et au point $1$. L'ordre se choisit en regardant l'intégrande : on a $f'(x) = \frac{2x}{1 + x^{2}}$ et $$f''(x) = \frac{2(1 + x^{2}) - 4x^{2}}{(1 + x^{2})^{2}} = \frac{2(1 - x)(1 + x)}{(1 + x^{2})^{2}},$$ de sorte que le facteur $(1 - t)$ du reste d'ordre $1$ complète le carré $(1 - t)^{2}$ attendu. C'est donc l'ordre $1$ qui convient, et, comme $f(0) = f'(0) = 0$, $$\ln 2 = f(1) = f(0) + f'(0) + \int_{0}^{1} (1 - t)\,f''(t)\,\mathrm{d} t = 2\int_{0}^{1} \frac{(1 + t)(1 - t)^{2}}{(1 + t^{2})^{2}}\,\mathrm{d} t.$$

$$\boxed{\int_{0}^{1} \frac{(1 + t)(1 - t)^{2}}{(1 + t^{2})^{2}}\,\mathrm{d} t = \frac{\ln 2}{2}}$$ Un calcul symbolique de l'intégrale, par décomposition en éléments simples, confirme ce résultat. ✓

À retenir. La formule de Taylor avec reste intégral se lit dans les deux sens : elle approche $f$ par son polynôme de Taylor, mais elle permet aussi, comme ici, de calculer une intégrale de la forme $\int_{a}^{x} \frac{(x - t)^{n}}{n!}\,g(t)\,\mathrm{d} t$ quand on reconnaît en $g$ une dérivée $(n + 1)$-ième. À l'ordre $2$, le reste ferait intervenir $f'''(t) = \frac{4t(t^{2} - 3)}{(1 + t^{2})^{3}}$ et le facteur $\frac{(1 - t)^{2}}{2}$, ce qui ne donne pas l'intégrande de l'énoncé.