Exercice 33

1. On applique l'inégalité de Taylor-Lagrange (théorème 8) au cosinus, en $0$, à l'ordre $4$ : le polynôme de Taylor est $1 - \frac{a^{2}}{2} + \frac{a^{4}}{24}$, et $|\cos^{(5)}| = |\sin| \leqslant 1$. $$\boxed{\Big|\cos a - 1 + \frac{a^{2}}{2} - \frac{a^{4}}{24}\Big| \leqslant \frac{a^{5}}{5!} = \frac{a^{5}}{120}}$$ Pour $a = \frac{1}{2}$, on a $1 - \frac{1}{8} + \frac{1}{384} = \frac{384 - 48 + 1}{384} = \frac{337}{384}$ et $\frac{(1/2)^{5}}{120} = \frac{1}{3840}$. $$\boxed{\frac{337}{384} - \frac{1}{3840} \leqslant \cos\frac{1}{2} \leqslant \frac{337}{384} + \frac{1}{3840}}$$ Numériquement, $\cos\frac{1}{2} - \frac{337}{384} \approx -2{,}16 \times 10^{-5}$, nettement moins que $\frac{1}{3840} \approx 2{,}6 \times 10^{-4}$. La raison est que la dérivée cinquième du cosinus est nulle en $0$ : le polynôme d'ordre $4$ est aussi celui d'ordre $5$, et le théorème 8 à l'ordre $5$ donne la majoration $\frac{a^{6}}{720} = \frac{1}{46\,080} \approx 2{,}17 \times 10^{-5}$, presque atteinte. ✓

2. Pour $f(t) = \ln(1 + t)$, on a $f'''(t) = \frac{2}{(1 + t)^{3}}$, majoré par $2$ sur $[0\,,x]$. L'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $2$, en $0$, donne une erreur au plus $2 \times \frac{x^{3}}{3!}$. $$\boxed{\Big|\ln(1 + x) - x + \frac{x^{2}}{2}\Big| \leqslant \frac{x^{3}}{3} \qquad (x > 0)}$$ Pour $x = 0{,}003$, on a $x - \frac{x^{2}}{2} = 0{,}003 - 0{,}000\,004\,5 = 0{,}002\,995\,5$ et $\frac{x^{3}}{3} = 9 \times 10^{-9} < 10^{-8}$. L'exercice 32 (a) précise le signe : l'erreur est positive, et $0{,}002\,995\,5$ est une valeur approchée par défaut. $$\boxed{\ln(1{,}003) \approx 0{,}002\,995\,5 \ \text{ à } 10^{-8} \text{ près, par défaut}}$$ La valeur réelle est $\ln(1{,}003) = 0{,}002\,995\,508\,98\ldots$ : l'écart, $8{,}98 \times 10^{-9}$, est presque égal à la majoration, parce que $f'''(t)$ vaut presque $2$ sur un intervalle aussi court. ✓