Exercice 32

Dans les trois cas, on applique la formule de Taylor avec reste intégral (théorème 7) en $a = 0$, à l'ordre $n$ qui fait apparaître le polynôme voulu ; pour $x \geqslant 0$, le facteur $(x - t)^{n}$ est positif sur $[0\,,x]$, et le signe du reste est celui de la dérivée $f^{(n + 1)}$.

(a) Pour $f(t) = \ln(1 + t)$, on a $f'''(t) = \frac{2}{(1 + t)^{3}} > 0$ et $f''''(t) = -\frac{6}{(1 + t)^{4}} < 0$. Les formules aux ordres $2$ et $3$ donnent $$\ln(1 + x) = x - \frac{x^{2}}{2} + \int_{0}^{x} \frac{(x - t)^{2}}{2}\,f'''(t)\,\mathrm{d} t = x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} + \int_{0}^{x} \frac{(x - t)^{3}}{6}\,f''''(t)\,\mathrm{d} t,$$ où le premier reste est positif et le second négatif. $$\boxed{x - \frac{x^{2}}{2} \leqslant \ln(1 + x) \leqslant x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} \qquad (x \geqslant 0)}$$

(b) Les dérivées d'ordre pair du sinus sont nulles en $0$, donc ses polynômes de Taylor d'ordres $4$ et $6$ sont $x - \frac{x^{3}}{6}$ et $x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120}$. Les restes font intervenir $\sin^{(5)} = \cos$ et $\sin^{(7)} = -\cos$ : $$\sin x = x - \frac{x^{3}}{6} + \int_{0}^{x} \frac{(x - t)^{4}}{24}\cos t\,\mathrm{d} t = x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} - \int_{0}^{x} \frac{(x - t)^{6}}{720}\cos t\,\mathrm{d} t.$$ Pour $x \in \big[0\,,\frac{\pi}{2}\big]$, on a $\cos t \geqslant 0$ sur $[0\,,x]$ : le premier reste est positif, et le second est retranché. $$\boxed{x - \frac{x^{3}}{6} \leqslant \sin x \leqslant x - \frac{x^{3}}{6} + \frac{x^{5}}{120} \qquad \Big(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\Big)}$$

(c) Pour $g(t) = (1 + t)^{-1/3}$, on calcule par récurrence $$g'(t) = -\frac{1}{3}(1 + t)^{-4/3}, \quad g''(t) = \frac{4}{9}(1 + t)^{-7/3}, \quad g'''(t) = -\frac{28}{27}(1 + t)^{-10/3}, \quad g''''(t) = \frac{280}{81}(1 + t)^{-13/3}.$$ Les coefficients de Taylor en $0$ sont $1$, $-\frac{1}{3}$, $\frac{4}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{9}$ et $-\frac{28}{27} \times \frac{1}{6} = -\frac{14}{81}$. Le reste d'ordre $2$ contient $g''' < 0$, et le reste d'ordre $3$ contient $g'''' > 0$. $$\boxed{1 - \frac{x}{3} + \frac{2x^{2}}{9} - \frac{14x^{3}}{81} \leqslant \frac{1}{\sqrt[3]{1 + x}} \leqslant 1 - \frac{x}{3} + \frac{2x^{2}}{9} \qquad (x \geqslant 0)}$$ Les trois encadrements ont été contrôlés numériquement sur $[0\,,50]$ et sur $\big[0\,,\frac{\pi}{2}\big]$. ✓

Piège. Le signe du reste est celui de $f^{(n + 1)}$ seulement pour $x \geqslant 0$. Pour $x < 0$, on a $\int_{0}^{x} = -\int_{x}^{0}$, et le facteur $(x - t)^{n}$ a le signe de $(-1)^{n}$ : l'erreur la plus répandue est d'appliquer le même raisonnement sans regarder le sens des bornes. Par exemple, $\ln(1 + x) \leqslant x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3}$ reste vrai pour $x \in \,]-1\,,0]$, mais $\ln(1 + x) \geqslant x - \frac{x^{2}}{2}$ devient faux.