Exercice 31

On intègre par parties (chapitre 6, proposition 4), en dérivant $f$ et en primitivant $\cos(nt)$ en $\frac{\sin(nt)}{n}$. C'est le choix naturel : l'hypothèse de convexité porte sur $f'$, qui est croissante (chapitre 9, théorème 10), et le crochet est nul puisque $\sin(nt)$ s'annule en $0$ et en $2\pi$ : $$a_{n} = \Big[\frac{f(t)\sin(nt)}{n}\Big]_{0}^{2\pi} - \frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi} f'(t)\sin(nt)\,\mathrm{d} t = -\frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi} f'(t)\sin(nt)\,\mathrm{d} t.$$ On découpe $[0\,,2\pi]$, par la relation de Chasles, en $n$ intervalles $\big[\frac{2k\pi}{n}\,,\frac{(2k + 2)\pi}{n}\big]$, pour $k \in [\![0\,;n - 1]\!]$, et chacun en deux moitiés de longueur $\frac{\pi}{n}$. Sur la seconde moitié, le changement de variable $t = s + \frac{\pi}{n}$ et la relation $\sin(ns + \pi) = -\sin(ns)$ donnent $$\int_{2k\pi/n}^{(2k + 2)\pi/n} f'(t)\sin(nt)\,\mathrm{d} t = \int_{2k\pi/n}^{(2k + 1)\pi/n} \Big(f'(s) - f'\Big(s + \frac{\pi}{n}\Big)\Big)\sin(ns)\,\mathrm{d} s.$$ Sur l'intervalle d'intégration, $ns \in [2k\pi\,,(2k + 1)\pi]$, donc $\sin(ns) \geqslant 0$ ; et $f'(s) - f'\big(s + \frac{\pi}{n}\big) \leqslant 0$, puisque $f'$ est croissante. Chaque morceau est négatif, donc $\int_{0}^{2\pi} f'(t)\sin(nt)\,\mathrm{d} t \leqslant 0$. $$\boxed{a_{n} = -\frac{1}{n}\int_{0}^{2\pi} f'(t)\sin(nt)\,\mathrm{d} t \geqslant 0}$$ Pour $f(t) = t^{2}$, un calcul direct donne $a_{n} = \frac{4\pi}{n^{2}} > 0$. ✓

À retenir. Le découpage compare la valeur de $f'$ sur une arche positive du sinus à sa valeur sur l'arche négative qui suit : comme $f'$ croît, l'arche négative pèse plus. Pour $f$ concave, on obtient de même $a_{n} \leqslant 0$. Les nombres $a_{n}$ sont, au facteur $\frac{1}{\pi}$ près, les coefficients de Fourier de $f$, que l'on étudiera en seconde année.