Exercice 45

1. Pour l'inégalité de droite, on utilise la position de la courbe sous ses cordes (chapitre 9, proposition 9). Pour $t \in [a\,,b]$, la corde joignant les points d'abscisses $a$ et $b$ donne $$f(t) \leqslant \frac{b - t}{b - a}\,f(a) + \frac{t - a}{b - a}\,f(b).$$ On intègre sur $[a\,,b]$, avec $\int_{a}^{b} (b - t)\,\mathrm{d} t = \int_{a}^{b} (t - a)\,\mathrm{d} t = \frac{(b - a)^{2}}{2}$ : $$\int_{a}^{b} f \leqslant \frac{b - a}{2}\big(f(a) + f(b)\big).$$ Pour l'inégalité de gauche, on remarque que $m$ est le milieu de $t$ et de $a + b - t$. La convexité, avec les poids $\frac{1}{2}$ et $\frac{1}{2}$, donne $$f(m) \leqslant \frac{f(t) + f(a + b - t)}{2} \qquad \text{pour tout } t \in [a\,,b].$$ On intègre sur $[a\,,b]$. Le changement de variable affine $u = a + b - t$, qui échange $a$ et $b$, montre que $\int_{a}^{b} f(a + b - t)\,\mathrm{d} t = \int_{a}^{b} f(u)\,\mathrm{d} u$ : on obtient $(b - a)f(m) \leqslant \int_{a}^{b} f$. $$\boxed{f(m) \leqslant \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f \leqslant \frac{f(a) + f(b)}{2}}$$ Géométriquement, l'aire sous la courbe est comprise entre celle du rectangle de hauteur $f(m)$, qui est aussi celle du trapèze limité par la tangente en $m$ quand $f$ est dérivable, et celle du trapèze limité par la corde.

2. On applique l'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $1$ (théorème 8) en $m$ : pour tout $t \in [a\,,b]$, $$\big|f(t) - f(m) - f'(m)(t - m)\big| \leqslant M_{2}\,\frac{(t - m)^{2}}{2}.$$ On intègre sur $[a\,,b]$. Le terme du premier ordre disparaît, car $\int_{a}^{b} (t - m)\,\mathrm{d} t = 0$ par symétrie : c'est tout l'intérêt du point milieu. Par ailleurs, en notant $\ell = \frac{b - a}{2}$, $$\int_{a}^{b} \frac{(t - m)^{2}}{2}\,\mathrm{d} t = \Big[\frac{(t - m)^{3}}{6}\Big]_{a}^{b} = \frac{2\ell^{3}}{6} = \frac{(b - a)^{3}}{24}.$$ Par l'inégalité triangulaire (théorème 3 (iv)), $$\boxed{\Big|\int_{a}^{b} f - (b - a)f(m)\Big| \leqslant M_{2}\,\frac{(b - a)^{3}}{24}}$$

3. On applique la question 2 sur chaque segment $[x_{k}\,,x_{k+1}]$, de longueur $h = \frac{b - a}{n}$ et de milieu $m_{k} = \frac{x_{k} + x_{k+1}}{2}$, le réel $M_{2}$ majorant encore $|f''|$ sur ce segment. Par la relation de Chasles et l'inégalité triangulaire, $$\Big|\int_{a}^{b} f - h\sum_{k=0}^{n-1} f(m_{k})\Big| \leqslant \sum_{k=0}^{n-1} \Big|\int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f - hf(m_{k})\Big| \leqslant n\,\frac{M_{2}h^{3}}{24},$$

$$\boxed{\Big|\int_{a}^{b} f - \frac{b - a}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\Big(\frac{x_{k} + x_{k+1}}{2}\Big)\Big| \leqslant M_{2}\,\frac{(b - a)^{3}}{24n^{2}}}$$ C'est la majoration admise dans la deuxième remarque qui suit la proposition 14.

4. On suppose $f$ convexe et, comme à la question 1, continue. On note $M_{n}(f)$ la somme du point milieu. L'inégalité de gauche de la question 1, sur chaque $[x_{k}\,,x_{k+1}]$, donne $hf(m_{k}) \leqslant \int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f$ ; celle de droite donne $\int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f \leqslant h\,\frac{f(x_{k}) + f(x_{k+1})}{2}$. En sommant, $$\boxed{f \text{ convexe} \implies M_{n}(f) \leqslant \int_{a}^{b} f \leqslant T_{n}(f)}$$ La méthode du point milieu donne une valeur par défaut, celle des trapèzes une valeur par excès. On retrouve, sans supposer $f$ de classe $\mathcal{C}^{2}$, la première remarque qui suit la proposition 14.

5. Les milieux sont $\frac{1}{8}$, $\frac{3}{8}$, $\frac{5}{8}$ et $\frac{7}{8}$, et $f\big(\frac{j}{8}\big) = \frac{256}{64 + j^{2}}$, d'où $$M_{4}(f) = \frac{1}{4}\sum_{k=0}^{3} f\Big(\frac{2k + 1}{8}\Big) = \frac{64}{65} + \frac{64}{73} + \frac{64}{89} + \frac{64}{113}, \qquad \boxed{M_{4}(f) \approx 3{,}146\,801}$$

$$M_{4}(f) - \pi \approx +5{,}2 \times 10^{-3}, \qquad T_{4}(f) - \pi \approx 3{,}131\,176 - \pi \approx -1{,}04 \times 10^{-2}.$$ L'erreur du point milieu est environ la moitié de celle des trapèzes, et de signe opposé, ce qu'annonçaient les constantes $\frac{1}{24}$ et $\frac{1}{12}$. Avec $M_{2} = \max_{[0, 1]} |f''| = 8$, la question 3 garantit une erreur au plus $\frac{8}{24 \times 16} \approx 2{,}1 \times 10^{-2}$, quatre fois plus que l'erreur réelle.

Piège. La question 4 ne s'applique pas ici : $f''(x) = \frac{8(3x^{2} - 1)}{(1 + x^{2})^{3}}$ est négative sur $\big[0\,,\frac{1}{\sqrt{3}}\big]$, et $f$ n'est pas convexe sur $[0\,,1]$. Les signes observés, point milieu par excès et trapèzes par défaut, sont ceux d'une fonction concave, ce que $f$ est sur la plus grande partie de l'intervalle.

À retenir. Les deux erreurs étant à peu près dans le rapport $-\frac{1}{2}$, la combinaison $\frac{2M_{4}(f) + T_{4}(f)}{3}$ les compense : elle vaut $3{,}141\,592\,50$, à $1{,}5 \times 10^{-7}$ de $\pi$, avec seulement neuf évaluations de $f$. C'est la méthode de Simpson, que l'on rencontrera en informatique.