Exercice 46

1. Pour $a_{0} = \int_{0}^{1} \sqrt{1 - t^{2}}\,\mathrm{d} t$, on effectue le changement de variable $t = \sin\theta$, avec $\theta \in \big[0\,,\frac{\pi}{2}\big]$ (chapitre 6, proposition 5) : c'est le changement naturel devant $\sqrt{1 - t^{2}}$, qui devient $\sqrt{1 - \sin^{2}\theta} = \cos\theta$, positif sur cet intervalle. Avec $\mathrm{d} t = \cos\theta\,\mathrm{d}\theta$, $$a_{0} = \int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta = W_{2}, \qquad \boxed{a_{0} = \frac{\pi}{4}}$$ par la proposition 15 (iii). C'est l'aire d'un quart de disque de rayon $1$. Pour $a_{1}$, l'intégrande $t\sqrt{1 - t^{2}}$ est de la forme $-\frac{1}{2}u'u^{1/2}$, avec $u = 1 - t^{2}$ : une primitive est $-\frac{1}{3}(1 - t^{2})^{3/2}$. $$a_{1} = \Big[-\frac{1}{3}(1 - t^{2})^{3/2}\Big]_{0}^{1}, \qquad \boxed{a_{1} = \frac{1}{3}}$$

2. Pour $t \in [0\,,1]$, on a $t^{n+1} \leqslant t^{n}$, donc $t^{n+1}\sqrt{1 - t^{2}} \leqslant t^{n}\sqrt{1 - t^{2}}$, et la croissance de l'intégrale donne $a_{n+1} \leqslant a_{n}$. La suite est décroissante, et minorée par $0$ par positivité : elle converge. Pour la limite, $\sqrt{1 - t^{2}} \leqslant 1$ donne $$0 \leqslant a_{n} \leqslant \int_{0}^{1} t^{n}\,\mathrm{d} t = \frac{1}{n + 1}, \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{(a_{n}) \text{ est décroissante et } \lim\limits_{n \to +\infty} a_{n} = 0}$$ De plus, $a_{n} > 0$ par le théorème 4, l'intégrande étant continu, positif et non nul en $\frac{1}{2}$.

3. On intègre par parties, pour abaisser l'exposant de $t$ : c'est la technique naturelle, comme pour les intégrales de Wallis, et le facteur $t\sqrt{1 - t^{2}}$ a une primitive explicite, trouvée à la question 1. On écrit $t^{n+2}\sqrt{1 - t^{2}} = t^{n+1} \cdot t\sqrt{1 - t^{2}}$, on dérive $t^{n+1}$ et l'on primitive $t\sqrt{1 - t^{2}}$ en $-\frac{1}{3}(1 - t^{2})^{3/2}$ : $$a_{n+2} = \Big[-\frac{t^{n+1}(1 - t^{2})^{3/2}}{3}\Big]_{0}^{1} + \frac{n + 1}{3}\int_{0}^{1} t^{n}(1 - t^{2})\sqrt{1 - t^{2}}\,\mathrm{d} t = \frac{n + 1}{3}\,(a_{n} - a_{n+2}),$$ le crochet étant nul aux deux bornes. On regroupe les termes en $a_{n+2}$ : $(n + 4)\,a_{n+2} = (n + 1)\,a_{n}$. $$\boxed{a_{n+2} = \frac{n + 1}{n + 4}\,a_{n}}$$ On contrôle avec $n = 0$ : $a_{2} = \frac{1}{4}\,a_{0} = \frac{\pi}{16}$, et l'on trouve bien $W_{2} - W_{4} = \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{16} = \frac{\pi}{16}$ par la question 5 ci-dessous ✓.

4. Dans la proposition 15, la relation de récurrence fait apparaître le produit constant $nW_{n}W_{n-1}$. On cherche ici l'analogue : posons $v_{n} = (n + 1)(n + 2)(n + 3)\,a_{n}a_{n+1}$. Par la question 3, $$v_{n+1} = (n + 2)(n + 3)(n + 4)\,a_{n+1}a_{n+2} = (n + 2)(n + 3)(n + 4)\,a_{n+1}\,\frac{n + 1}{n + 4}\,a_{n} = v_{n}.$$ La suite $(v_{n})$ est constante, égale à $v_{0} = 6\,a_{0}a_{1} = 6 \times \frac{\pi}{4} \times \frac{1}{3}$ : $$\boxed{(n + 1)(n + 2)(n + 3)\,a_{n}a_{n+1} = \frac{\pi}{2}}$$ Comme dans la démonstration du cours, on montre ensuite que $a_{n+1} \sim a_{n}$. Par décroissance, on a $a_{n+2} \leqslant a_{n+1} \leqslant a_{n}$ et, en divisant par $a_{n} > 0$, $$\frac{n + 1}{n + 4} = \frac{a_{n+2}}{a_{n}} \leqslant \frac{a_{n+1}}{a_{n}} \leqslant 1.$$ Par encadrement, $\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \to 1$. Ainsi $\frac{\pi}{2} = (n + 1)(n + 2)(n + 3)\,a_{n}a_{n+1} \sim n^{3}a_{n}^{2}$, donc $n^{3}a_{n}^{2} \to \frac{\pi}{2}$ et, par continuité de la racine carrée, $n^{3/2}a_{n} \to \sqrt{\frac{\pi}{2}}$. $$\boxed{a_{n} \sim \sqrt{\frac{\pi}{2}}\,\frac{1}{n^{3/2}}}$$ Pour $n = 2\,000$, le rapport des deux membres vaut $0{,}9989$ ✓.

5. Le même changement de variable qu'à la question 1, $t = \sin\theta$, transforme $t^{n}\sqrt{1 - t^{2}}\,\mathrm{d} t$ en $\sin^{n}\theta\cos^{2}\theta\,\mathrm{d}\theta$. Avec $\cos^{2} = 1 - \sin^{2}$ et la proposition 15 (ii), $$a_{n} = \int_{0}^{\pi/2} \sin^{n}\theta\,(1 - \sin^{2}\theta)\,\mathrm{d}\theta = W_{n} - W_{n+2} = W_{n} - \frac{n + 1}{n + 2}\,W_{n}, \qquad \boxed{a_{n} = \frac{W_{n}}{n + 2}}$$ On retrouve $a_{0} = \frac{W_{0}}{2} = \frac{\pi}{4}$ et $a_{1} = \frac{W_{1}}{3} = \frac{1}{3}$ ✓. Par la proposition 15 (v), $a_{n} \sim \frac{1}{n}\sqrt{\frac{\pi}{2n}} = \sqrt{\frac{\pi}{2}}\,n^{-3/2}$ : c'est l'équivalent de la question 4.

À retenir. Les deux méthodes ont des rôles différents. La question 4 montre que le procédé du cours (récurrence, produit constant, décroissance) s'adapte à d'autres familles d'intégrales ; la question 5 montre qu'un changement de variable bien choisi ramène souvent une famille nouvelle à une famille connue.