Exercice 47

1. L'intégrande $t^{2}\cos^{2n} t$ est continu, positif sur $\big[0\,,\frac{\pi}{2}\big]$, et non nul en $\frac{\pi}{4}$ : par le théorème 4, $b_{n} > 0$. Pour la majoration, on utilise la concavité de $\sin$ sur $\big[0\,,\frac{\pi}{2}\big]$, où $\sin'' = -\sin \leqslant 0$ (chapitre 9, théorème 11). La fonction $-\sin$ est convexe, et sa courbe est au-dessous de sa corde entre $0$ et $\frac{\pi}{2}$ (chapitre 9, proposition 9) : la courbe de $\sin$ est donc au-dessus de la corde joignant $(0, 0)$ à $\big(\frac{\pi}{2}, 1\big)$, et $$\sin t \geqslant \frac{2}{\pi}\,t, \qquad\text{soit}\qquad t^{2} \leqslant \frac{\pi^{2}}{4}\sin^{2} t \qquad \text{pour } t \in \Big[0\,,\frac{\pi}{2}\Big].$$ On multiplie par $\cos^{2n} t \geqslant 0$, on remplace $\sin^{2}$ par $1 - \cos^{2}$, et l'on intègre : $$\boxed{0 < b_{n} \leqslant \frac{\pi^{2}}{4}\int_{0}^{\pi/2} \big(\cos^{2n} t - \cos^{2n+2} t\big)\,\mathrm{d} t = \frac{\pi^{2}}{4}\,(a_{2n} - a_{2n+2})}$$

2. La relation rappelée, au rang $2n$, donne $a_{2n+2} = \frac{2n + 1}{2n + 2}\,a_{2n}$, donc $a_{2n} - a_{2n+2} = \frac{a_{2n}}{2n + 2}$. En divisant la question 1 par $a_{2n} > 0$, $$0 < \frac{b_{n}}{a_{2n}} \leqslant \frac{\pi^{2}}{4}\cdot\frac{1}{2n + 2} = \frac{\pi^{2}}{8(n + 1)}, \qquad\text{d'où}\qquad \boxed{\frac{b_{n}}{a_{2n}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0}$$

3. On procède par deux intégrations par parties. Le but est de faire apparaître le facteur $t^{2}$ de $b_{n}$ à partir de $a_{2n+2}$, qui n'en contient pas : la technique naturelle est d'intégrer par parties en primitivant le facteur polynomial, $1$ puis $t$, ce qui augmente son degré, et en dérivant la puissance de $\cos$.

Première formule. On écrit $a_{2n+2} = \int_{0}^{\pi/2} 1 \cdot \cos^{2n+2} t\,\mathrm{d} t$, on primitive $1$ en $t$ et l'on dérive $\cos^{2n+2} t$ en $-(2n + 2)\sin t\cos^{2n+1} t$. Le crochet $\big[t\cos^{2n+2} t\big]_{0}^{\pi/2}$ est nul : $$\boxed{a_{2n+2} = (2n + 2)\int_{0}^{\pi/2} t\sin t\,\cos^{2n+1} t\,\mathrm{d} t}$$

Deuxième formule. On intègre par parties $J = \int_{0}^{\pi/2} t \cdot \sin t\cos^{2n+1} t\,\mathrm{d} t$, en primitivant $t$ en $\frac{t^{2}}{2}$ et en dérivant $v(t) = \sin t\cos^{2n+1} t$ : $$v'(t) = \cos^{2n+2} t - (2n + 1)\sin^{2} t\cos^{2n} t = (2n + 2)\cos^{2n+2} t - (2n + 1)\cos^{2n} t,$$ en remplaçant $\sin^{2}$ par $1 - \cos^{2}$. Le crochet $\big[\frac{t^{2}}{2}\,v(t)\big]_{0}^{\pi/2}$ est nul, car $v(0) = 0$ et $\cos\frac{\pi}{2} = 0$. Donc $$J = -\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} t^{2}\big((2n + 2)\cos^{2n+2} t - (2n + 1)\cos^{2n} t\big)\,\mathrm{d} t = \frac{1}{2}\big((2n + 1)\,b_{n} - (2n + 2)\,b_{n+1}\big).$$ Avec la première formule, $a_{2n+2} = (2n + 2)J = (n + 1)\big((2n + 1)\,b_{n} - (2n + 2)\,b_{n+1}\big)$, soit $$\boxed{\frac{a_{2n+2}}{n + 1} = (2n + 1)\,b_{n} - (2n + 2)\,b_{n+1}}$$

Troisième formule. On divise la deuxième par $(n + 1)\,a_{2n+2} > 0$ : $$\frac{1}{(n + 1)^{2}} = \frac{(2n + 1)\,b_{n}}{(n + 1)\,a_{2n+2}} - \frac{2\,b_{n+1}}{a_{2n+2}}.$$ Or $a_{2n+2} = \frac{2n + 1}{2n + 2}\,a_{2n}$ donne $\frac{2n + 1}{(n + 1)\,a_{2n+2}} = \frac{2n + 1}{n + 1}\cdot\frac{2n + 2}{(2n + 1)\,a_{2n}} = \frac{2}{a_{2n}}$. Ainsi $$\boxed{2\Big(\frac{b_{n}}{a_{2n}} - \frac{b_{n+1}}{a_{2n+2}}\Big) = \frac{1}{(n + 1)^{2}}}$$ Les trois formules ont été contrôlées numériquement pour $n$ de $0$ à $4$ ✓.

4. On somme la troisième formule pour $j$ allant de $0$ à $n - 1$ : la somme est télescopique. $$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} = \sum_{j=0}^{n-1} \frac{1}{(j + 1)^{2}} = 2\Big(\frac{b_{0}}{a_{0}} - \frac{b_{n}}{a_{2n}}\Big).$$ Or $b_{0} = \int_{0}^{\pi/2} t^{2}\,\mathrm{d} t = \frac{\pi^{3}}{24}$ et $a_{0} = \frac{\pi}{2}$, donc $\frac{b_{0}}{a_{0}} = \frac{\pi^{2}}{12}$, et $\frac{b_{n}}{a_{2n}} \to 0$ par la question 2. $$\boxed{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{\pi^{2}}{6}}$$ Pour $n = 10$, les deux membres de l'égalité télescopique valent $1{,}549\,77$ ✓, encore loin de la limite $\frac{\pi^{2}}{6} \approx 1{,}644\,93$. La question 2 donne même une vitesse : $0 < \frac{\pi^{2}}{6} - \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k^{2}} = \frac{2b_{n}}{a_{2n}} \leqslant \frac{\pi^{2}}{4(n + 1)}$.

À retenir. Ce résultat, dû à Euler, est le premier exemple de ce que le chapitre 20 appellera la somme d'une série. La démonstration n'utilise que des outils de ce chapitre : positivité, comparaison à une corde, intégration par parties et la relation de récurrence de Wallis.