Exercice 48

1. Faux. La fonction $g$ définie par $g(0) = 0$ et $g(x) = \sin\frac{1}{x}$ pour $x \in \,]0\,,1]$ est bornée et continue en tout point sauf en $0$. Elle n'est pas continue par morceaux : sur tout intervalle $]0\,,x_{1}[$, elle n'a pas de limite en $0$, puisqu'elle y prend les valeurs $1$ et $-1$. C'est l'exemple du cours qui suit la proposition 2 : la définition exige des limites finies aux bords de chaque morceau, et pas seulement un nombre fini de discontinuités.

2. Vrai. Soit $\sigma = (x_{0}, \dots, x_{n})$ une subdivision adaptée, et $f_{i}$ le morceau d'indice $i$, continu sur $[x_{i-1}\,,x_{i}]$ et positif comme limite de valeurs positives. Par la proposition 6, $\int_{x_{i-1}}^{x_{i}} f = \int_{x_{i-1}}^{x_{i}} f_{i} \geqslant 0$, et ces $n$ intégrales positives ont une somme nulle par la relation de Chasles : elles sont toutes nulles. Par le théorème 4, chaque $f_{i}$ est nulle, donc $f$ est nulle sur chaque $]x_{i-1}\,,x_{i}[$ : elle ne peut être non nulle qu'aux points $x_{i}$.

3. Faux. Soit $f$ l'indicatrice de $\big\{\frac{1}{2}\big\}$ sur $[0\,,1]$, qui est en escalier. Par la proposition 6, $\int_{0}^{x} f = 0$ pour tout $x$ : la fonction $x \mapsto \int_{0}^{x} f$ est nulle, donc dérivable, alors que $f$ n'est pas continue en $\frac{1}{2}$. Sa dérivée, nulle, ne coïncide d'ailleurs pas avec $f$ en $\frac{1}{2}$ : le théorème 6 exige la continuité.

4. Vrai. Par la proposition 7, il existe $c \in [a\,,b]$ tel que $f(c) = \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f = 0$.

5. Vrai. La fonction $f$ est une primitive de la fonction continue $f'$, donc $f(1) - f(0) = \int_{0}^{1} f'$ par le théorème 6, qui vaut pour $\mathbb{K} = \mathbb{C}$. L'inégalité triangulaire complexe (théorème 5) conclut. Le résultat est faux pour les fonctions seulement continues par morceaux : il exige que $f$ soit une primitive de $f'$.

6. Faux. La fonction $f(t) = 6t^{2} - 6t + 1$ vérifie $$\int_{0}^{1} f = 2 - 3 + 1 = 0 \qquad\text{et}\qquad \int_{0}^{1} t\,f(t)\,\mathrm{d} t = \frac{6}{4} - \frac{6}{3} + \frac{1}{2} = 0,$$ sans être nulle. C'est la question 4 de l'exercice 14 : deux conditions d'orthogonalité forcent au moins deux changements de signe, mais pas la nullité.

7. Vrai. La somme proposée vaut $R'_{n}(f) + \frac{f(0)}{n}$. Le premier terme tend vers $\int_{0}^{1} f$ par le théorème 9, et le second vers $0$. Un nombre fixé de termes supplémentaires, chacun de poids $\frac{1}{n}$, ne change pas la limite.

8. Faux. La fonction plate $f$, égale à $\mathrm{e}^{-1/x}$ pour $x > 0$ et à $0$ pour $x \leqslant 0$, est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$, et toutes ses dérivées sont nulles en $0$ (exercice 30 du chapitre 9). Tous ses polynômes de Taylor en $0$ sont nuls, et leur valeur en $x = 1$ tend vers $0 \neq \mathrm{e}^{-1} = f(1)$. C'est la troisième remarque qui suit le théorème 8.

9. Vrai. Pour $x \in \,]0\,,1]$, la fonction $\varphi$ égale à $1$ sur $[0\,,x]$ et à $0$ ailleurs est en escalier, et $\int_{0}^{1} f\varphi = \int_{0}^{x} f = 0$. La fonction $F : x \mapsto \int_{0}^{x} f$ est donc nulle sur $[0\,,1]$, et par le théorème 6, $f = F' = 0$.

10. Vrai. La démonstration de la proposition 14 établit, sur chaque segment $[\alpha\,,\beta]$ de la subdivision, de longueur $h = \beta - \alpha$, l'égalité $$\int_{\alpha}^{\beta} f - h\,\frac{f(\alpha) + f(\beta)}{2} = \int_{\alpha}^{\beta} \theta f'', \qquad \text{avec } \theta \leqslant 0.$$ Si $f$ est convexe, $f'' \geqslant 0$, et cette quantité est négative : en sommant, $\int_{a}^{b} f \leqslant T_{n}(f)$. C'est aussi la question 4 de l'exercice 45, qui n'utilise que la position de la courbe sous ses cordes.

$$\boxed{\text{Vrai : } 2, 4, 5, 7, 9, 10 ; \qquad \text{Faux : } 1, 3, 6, 8}$$ Piège. Les assertions 2 et 3 opposent continuité et continuité par morceaux : une fonction continue par morceaux est « invisible » de l'intégrale en un nombre fini de points, ce qui rend la 2 vraie avec la restriction « sauf en un nombre fini de points » et la 3 fausse. L'assertion 8 rappelle que la formule de Taylor donne une égalité exacte, mais que le reste ne tend pas toujours vers $0$.