Exercice 44

1. La fonction $f$ est continue, positive et non identiquement nulle, et $a < b$. Par la contraposée du théorème 4 : $$\boxed{I = \int_{a}^{b} f > 0}$$ On peut aussi dire que $f$ atteint un minimum $m > 0$, d'où $I \geqslant m(b - a) > 0$ par la proposition 7.

2. On introduit $F : x \mapsto \int_{a}^{x} f$. Par le théorème 6, $F$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ et $F' = f > 0$ : elle est continue et strictement croissante sur $[a\,,b]$, avec $F(a) = 0$ et $F(b) = I$. Par le théorème de la bijection continue (chapitre 8, théorème 11), $F$ est une bijection de $[a\,,b]$ sur $[0\,,I]$, et sa réciproque $F^{-1}$ est continue.

Soit $(x_{0}, \dots, x_{n})$ une subdivision de $[a\,,b]$, avec donc $x_{0} = a$. Par la relation de Chasles, $$\int_{x_{k-1}}^{x_{k}} f = F(x_{k}) - F(x_{k-1}),$$ et les $n$ conditions de l'énoncé équivalent, de proche en proche à partir de $F(x_{0}) = 0$, à $F(x_{k}) = \frac{kI}{n}$ pour tout $k \in [\![0\,;n]\!]$. Réciproquement, les réels $x_{k} = F^{-1}\big(\frac{kI}{n}\big)$ vérifient $x_{0} = a$, $x_{n} = F^{-1}(I) = b$, et ils sont strictement croissants puisque $F^{-1}$ l'est : ils forment une subdivision qui convient. $$\boxed{\text{la subdivision existe et est unique : } x_{n,k} = F^{-1}\Big(\frac{kI}{n}\Big), \quad 0 \leqslant k \leqslant n}$$

3. Par la question 2, $$\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(x_{n,k}) = \frac{1}{I}\cdot\frac{I}{n}\sum_{k=0}^{n-1} (f \circ F^{-1})\Big(0 + k\,\frac{I}{n}\Big) = \frac{1}{I}\,R_{n}(f \circ F^{-1}),$$ où $R_{n}$ est la somme des rectangles sur le segment $[0\,,I]$. La fonction $f \circ F^{-1}$ est continue sur $[0\,,I]$, et le théorème 9 donne la limite $\frac{1}{I}\int_{0}^{I} f\big(F^{-1}(y)\big)\,\mathrm{d} y$. Pour calculer cette intégrale, on effectue le changement de variable $y = F(x)$ (chapitre 6, proposition 5) : c'est le changement naturel, puisqu'il fait disparaître la réciproque $F^{-1}$, et que $\mathrm{d} y = F'(x)\,\mathrm{d} x = f(x)\,\mathrm{d} x$ fait apparaître un second facteur $f$. La fonction $F$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $[a\,,b]$, avec $F(a) = 0$ et $F(b) = I$ : $$\int_{0}^{I} f\big(F^{-1}(y)\big)\,\mathrm{d} y = \int_{a}^{b} f\big(F^{-1}(F(x))\big)\,F'(x)\,\mathrm{d} x = \int_{a}^{b} f(x)^{2}\,\mathrm{d} x.$$

$$\boxed{\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(x_{n,k}) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{1}{I}\int_{a}^{b} f^{2}}$$ Pour $f(x) = 1 + x$ sur $[0\,,1]$, on trouve $I = \frac{3}{2}$, $\int_{0}^{1} (1 + x)^{2}\,\mathrm{d} x = \frac{7}{3}$, et la limite vaut $\frac{14}{9} \approx 1{,}5556$ ; avec $x_{n,k} = -1 + \sqrt{1 + 3k/n}$, la moyenne calculée vaut $1{,}5551$ pour $n = 1\,000$ ✓.

À retenir. Les points $x_{n,k}$ se resserrent là où $f$ est grande, puisque chaque intervalle porte la même aire. La moyenne des valeurs de $f$ en ces points dépasse donc la valeur moyenne de $f$ : en effet, par l'exercice 41 appliqué à $x \mapsto x^{2}$, $\frac{1}{I}\int_{a}^{b} f^{2} \geqslant \frac{I}{b - a}$. Sur l'exemple, $\frac{14}{9} \geqslant \frac{3}{2}$.