Exercice 43

On établit d'abord l'inégalité suggérée. La fonction $\psi : u \mapsto \ln(1 + u)$ est de classe $\mathcal{C}^{2}$ sur $\big[-\frac{1}{2}\,,\frac{1}{2}\big]$, avec $\psi(0) = 0$, $\psi'(0) = 1$ et $\psi''(u) = -\frac{1}{(1 + u)^{2}}$, donc $|\psi''(u)| \leqslant \frac{1}{(1/2)^{2}} = 4$. L'inégalité de Taylor-Lagrange à l'ordre $1$ en $0$ (théorème 8) donne $$\boxed{|\ln(1 + u) - u| \leqslant 4\,\frac{u^{2}}{2} = 2u^{2} \qquad \text{pour } |u| \leqslant \frac{1}{2}}$$

Soit $M = \max_{[0, 1]} |f|$, qui existe par le théorème des bornes atteintes, et $n \geqslant \max(1, 2M)$. Pour tout $k$, le nombre $u_{k} = \frac{1}{n}f\big(\frac{k}{n}\big)$ vérifie $|u_{k}| \leqslant \frac{M}{n} \leqslant \frac{1}{2}$ : tous les facteurs du produit $P_{n}$ sont strictement positifs, et l'on peut en prendre le logarithme. On compare alors $\ln P_{n} = \sum_{k=1}^{n} \ln(1 + u_{k})$ à $\sum_{k=1}^{n} u_{k} = R'_{n}(f)$ : $$\big|\ln P_{n} - R'_{n}(f)\big| \leqslant \sum_{k=1}^{n} |\ln(1 + u_{k}) - u_{k}| \leqslant \sum_{k=1}^{n} 2u_{k}^{2} \leqslant n \cdot \frac{2M^{2}}{n^{2}} = \frac{2M^{2}}{n}.$$ Ce majorant tend vers $0$, et $R'_{n}(f)$ tend vers $\int_{0}^{1} f$ par le théorème 9 : $\ln P_{n}$ tend vers $\int_{0}^{1} f$. Par continuité de l'exponentielle, $$\boxed{\prod_{k=1}^{n}\Big(1 + \frac{1}{n}\,f\Big(\frac{k}{n}\Big)\Big) \xrightarrow[n \to +\infty]{} \exp\Big(\int_{0}^{1} f\Big)}$$ Pour $f = 1$, on retrouve la limite $\big(1 + \frac{1}{n}\big)^{n} \to \mathrm{e}$ du chapitre 10. Pour $f(x) = x^{2}$, la limite est $\mathrm{e}^{1/3} \approx 1{,}39561$, et le produit vaut $1{,}39567$ pour $n = 10\,000$ ✓.

Piège. Il ne suffit pas de dire que $\ln(1 + u_{k}) \sim u_{k}$ pour chaque $k$ : on somme $n$ termes, et $n$ erreurs « négligeables » peuvent ne pas l'être ensemble. C'est la majoration uniforme en $\frac{2M^{2}}{n^{2}}$, la même pour tous les $k$, qui permet de contrôler la somme des $n$ erreurs.