Exercice 14

Dans tout l'exercice, on dit qu'une suite $y_{0} < \cdots < y_{m}$ de points de $[a\,,b]$ est une chaîne de longueur $m$ si $f(y_{i - 1})f(y_{i}) < 0$ pour tout $i \in [\![1\,;m]\!]$ ; il s'agit de trouver une chaîne de longueur $n$. L'outil, comme à l'exercice 13, est le théorème 4 : une fonction continue de signe constant et d'intégrale nulle est nulle.

1. Si l'on avait $f \geqslant 0$ sur $[a\,,b]$, la fonction $f$, continue, positive et d'intégrale nulle, serait nulle par le théorème 4, ce qui est exclu. Donc $f$ prend une valeur strictement négative, en un point $y$, et de même, en appliquant ce raisonnement à $-f$, une valeur strictement positive, en un point $z$. En rangeant $y$ et $z$ dans l'ordre croissant, on obtient une chaîne de longueur $1$. $$\boxed{n = 1 : f \text{ change au moins une fois de signe}}$$

2. Supposons qu'il n'existe pas de chaîne de longueur $2$. Par la question 1, il existe une chaîne $y_{0} < y_{1}$ ; quitte à remplacer $f$ par $-f$, on suppose $f(y_{0}) > 0 > f(y_{1})$. On pose $$c = \sup\big\{t \in [y_{0}\,,y_{1}] \ \big|\ f(t) > 0\big\},$$ qui existe puisque cet ensemble contient $y_{0}$ et est majoré par $y_{1}$. On montre que $f \geqslant 0$ sur $[a\,,c[$ et $f \leqslant 0$ sur $]c\,,b]$.

• Sur $]c\,,y_{1}]$, $f \leqslant 0$ par définition de $c$. Sur $[y_{1}\,,b]$, un point $z$ tel que $f(z) > 0$ donnerait la chaîne $y_{0} < y_{1} < z$ : donc $f \leqslant 0$.

• Sur $[a\,,y_{0}]$, un point $z$ tel que $f(z) < 0$ donnerait la chaîne $z < y_{0} < y_{1}$ : donc $f \geqslant 0$. Sur $[y_{0}\,,c[$, s'il existait $u$ tel que $f(u) < 0$, alors $u < c$, et par définition de la borne supérieure il existerait $v > u$ dans $[y_{0}\,,y_{1}]$ tel que $f(v) > 0$ : la suite $y_{0} < u < v$ serait une chaîne de longueur $2$.

La fonction $g : t \mapsto (t - c)f(t)$ est donc continue et négative sur $[a\,,b]$, puisque ses deux facteurs sont de signes opposés de part et d'autre de $c$. Par hypothèse, avec $k = 0$ et $k = 1$, $$\int_{a}^{b} g = \int_{a}^{b} t f(t)\,\mathrm{d} t - c\int_{a}^{b} f(t)\,\mathrm{d} t = 0.$$ Par le théorème 4, appliqué à $-g$, la fonction $g$ est nulle ; donc $f(t) = 0$ pour $t \neq c$, puis $f(c) = 0$ par continuité, et $f$ est nulle, ce qui est exclu. $$\boxed{n = 2 : f \text{ change au moins deux fois de signe}}$$

3. Supposons qu'il n'existe pas de chaîne de longueur $n$. Il n'en existe alors pas non plus de longueur supérieure, puisque les $n + 1$ premiers points d'une chaîne plus longue en formeraient une de longueur $n$. L'ensemble des longueurs de chaînes est donc une partie de $[\![1\,;n - 1]\!]$, non vide par la question 1 ; soit $m$ son plus grand élément et $y_{0} < \cdots < y_{m}$ une chaîne de longueur $m$. Quitte à remplacer $f$ par $-f$, on suppose $f(y_{0}) > 0$, de sorte que $f(y_{i})$ est du signe de $(-1)^{i}$. On généralise la construction de la question 2 en posant, pour $i \in [\![1\,;m]\!]$, $$c_{i} = \sup\big\{t \in [y_{i - 1}\,,y_{i}] \ \big|\ (-1)^{i - 1}f(t) > 0\big\}, \qquad c_{0} = a, \qquad c_{m + 1} = b.$$ Par continuité de $f$ en $y_{i - 1}$ et en $y_{i}$, on a $y_{i - 1} < c_{i} < y_{i}$, donc $c_{1} < c_{2} < \cdots < c_{m}$. Exactement comme à la question 2, en remplaçant chaque fois une chaîne de longueur $2$ par une chaîne de longueur $m + 1$ ou $m + 2$, obtenue en insérant un ou deux points dans $(y_{0}, \dots, y_{m})$, la maximalité de $m$ donne : $$(-1)^{i}f \geqslant 0 \ \text{ sur } \,]c_{i}\,,c_{i + 1}[ \quad\text{pour tout } i \in [\![0\,;m]\!].$$ Précisément, sur $]c_{i}\,,y_{i}]$, c'est la définition de $c_{i}$ ; un point $u \in [y_{i}\,,c_{i + 1}[$ où $(-1)^{i}f(u) < 0$ fournirait un $v \in \,]u\,,y_{i + 1}[$ où $(-1)^{i}f(v) > 0$, et la suite $y_{0} < \cdots < y_{i} < u < v < y_{i + 1} < \cdots < y_{m}$ serait une chaîne de longueur $m + 2$ ; un point $u < y_{0}$ où $f(u) < 0$, ou un point $u > y_{m}$ où $(-1)^{m}f(u) < 0$, prolongerait la chaîne d'un cran.

On pose alors $P = \prod_{i = 1}^{m} (X - c_{i})$, de degré $m \leqslant n - 1$. Pour $t \in \,]c_{i}\,,c_{i + 1}[$, exactement $m - i$ facteurs $t - c_{j}$ sont négatifs, donc $P(t)$ est du signe de $(-1)^{m - i}$, et $(-1)^{m}P(t)f(t) = (-1)^{m - i}P(t) \times (-1)^{i}f(t) \geqslant 0$. La fonction $t \mapsto (-1)^{m}P(t)f(t)$ est donc continue et positive sur $[a\,,b]$, privé d'un nombre fini de points, donc sur $[a\,,b]$ par continuité. Comme $P$ est une combinaison linéaire de $1$, $X$, …, $X^{n - 1}$, l'hypothèse et la linéarité donnent $\int_{a}^{b} P(t)f(t)\,\mathrm{d} t = 0$. Par le théorème 4, $Pf$ est nulle ; $f$ s'annule hors des $c_{i}$, donc partout par continuité, ce qui est exclu. $$\boxed{f \text{ change au moins } n \text{ fois de signe}}$$

4. Pour $p(t) = 6t^{2} - 6t + 1$, on calcule $$\int_{0}^{1} p(t)\,\mathrm{d} t = 2 - 3 + 1 = 0, \qquad \int_{0}^{1} t\,p(t)\,\mathrm{d} t = \frac{6}{4} - \frac{6}{3} + \frac{1}{2} = 0.$$

$$\boxed{p \text{ vérifie les hypothèses pour } n = 2 \text{ sur } [0\,,1]}$$ Ses racines sont $\frac{3 \pm \sqrt{3}}{6}$, et $p(0) = 1$, $p\big(\frac{1}{2}\big) = -\frac{1}{2}$, $p(1) = 1$ : la suite $0 < \frac{1}{2} < 1$ est une chaîne de longueur $2$. Il n'en existe pas de longueur $3$, puisque, par le théorème des valeurs intermédiaires, $p$ aurait alors trois racines distinctes, une entre deux points consécutifs de la chaîne, alors qu'il est de degré $2$ (chapitre 13, théorème 3). $$\boxed{\text{le résultat ne peut pas être amélioré : } p \text{ change exactement deux fois de signe}}$$ On constate d'ailleurs que $\int_{0}^{1} t^{2}p(t)\,\mathrm{d} t = \frac{1}{30} \neq 0$ : $p$ ne vérifie pas les hypothèses pour $n = 3$, ce qui est cohérent.

À retenir. L'hypothèse dit que $\int_{a}^{b} Pf = 0$ pour tout polynôme $P$ de degré au plus $n - 1$ ; si $f$ changeait de signe moins de $n$ fois, on fabriquerait un tel $P$ qui change de signe aux mêmes endroits que $f$, et $Pf$ serait de signe constant. C'est l'argument de l'exercice 13, où les fonctions $\lambda\sin + \mu\cos$ jouaient le rôle des polynômes.