Exercice 15

1. Soit $M = \max_{[0, 1]} |f| = |f(x_{0})|$, qui existe par le théorème des bornes atteintes (chapitre 8, théorème 10). Si $M = 0$, tout est nul. Sinon, la majoration $|f|^{p} \leqslant M^{p}$ et la croissance de l'intégrale donnent $N_{p}(f) \leqslant M$. Pour la minoration, soit $\varepsilon \in \,]0\,,M[$. Par continuité de $|f|$ en $x_{0}$, il existe un segment $[\alpha\,,\beta] \subset [0\,,1]$ contenant $x_{0}$, de longueur $\ell > 0$, sur lequel $|f| \geqslant M - \varepsilon$. Comme $|f|^{p} \geqslant 0$, la relation de Chasles et la croissance donnent $$\int_{0}^{1} |f|^{p} \geqslant \int_{\alpha}^{\beta} |f|^{p} \geqslant \ell\,(M - \varepsilon)^{p}, \qquad\text{donc}\qquad \ell^{1/p}(M - \varepsilon) \leqslant N_{p}(f) \leqslant M.$$ Comme $\ell^{1/p} = \mathrm{e}^{(\ln\ell)/p}$ tend vers $1$ quand $p$ tend vers $+\infty$, on a $N_{p}(f) \geqslant M - 2\varepsilon$ pour $p$ assez grand. $$\boxed{N_{p}(f) \xrightarrow[p \to +\infty]{} \max_{[0, 1]} |f|}$$ Pour $f = \cos 3t$, dont le maximum de $|f|$ vaut $1$, on trouve $N_{10}(f) \approx 0{,}856$ et $N_{1000}(f) \approx 0{,}996$ ✓. La continuité est indispensable : pour l'indicatrice de $\{0\}$, $N_{p}$ est nul pour tout $p$, et le maximum vaut $1$.

2.(a) Si $a = 0$ ou $b = 0$, le membre de gauche est nul et celui de droite positif. Sinon, la fonction $\ln$ est concave sur $]0\,,+\infty[$, puisque $\ln'' : x \mapsto -\frac{1}{x^{2}}$ est négative (chapitre 9, théorème 11). Comme $\frac{1}{p}$ et $\frac{1}{q}$ sont positifs de somme $1$, la définition de la concavité donne $$\ln\Big(\frac{a}{p} + \frac{b}{q}\Big) \geqslant \frac{1}{p}\ln a + \frac{1}{q}\ln b = \ln\big(a^{1/p}b^{1/q}\big),$$ et l'on conclut par croissance de l'exponentielle. $$\boxed{a^{1/p}b^{1/q} \leqslant \frac{a}{p} + \frac{b}{q} \quad \text{pour tous } a, b \geqslant 0}$$

2.(b) Supposons $N_{p}(f) = N_{q}(g) = 1$. Pour tout $t$, l'inégalité de Young appliquée à $a = |f(t)|^{p}$ et $b = |g(t)|^{q}$ donne $$|f(t)g(t)| \leqslant \frac{|f(t)|^{p}}{p} + \frac{|g(t)|^{q}}{q}, \qquad\text{et en intégrant,}\qquad \int_{0}^{1} |fg| \leqslant \frac{N_{p}(f)^{p}}{p} + \frac{N_{q}(g)^{q}}{q} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.$$ Dans le cas général, on fixe un réel $\lambda > 0$, et l'on applique la même inégalité à $\lambda f$ et $\frac{g}{\lambda}$, dont le produit est $fg$ : $$\int_{0}^{1} |fg| \leqslant \frac{\lambda^{p}N_{p}(f)^{p}}{p} + \frac{N_{q}(g)^{q}}{q\lambda^{q}}.$$ Si $N_{p}(f) = 0$, on fait tendre $\lambda$ vers $+\infty$, et l'on obtient $\int_{0}^{1} |fg| = 0$ ; de même si $N_{q}(g) = 0$, avec $\lambda \to 0$. Sinon, on applique le cas particulier à $\frac{f}{N_{p}(f)}$ et $\frac{g}{N_{q}(g)}$, qui vérifient $N_{p} = N_{q} = 1$, puisque $N_{p}(\mu f) = |\mu|\,N_{p}(f)$. $$\boxed{\int_{0}^{1} |fg| \leqslant N_{p}(f)\,N_{q}(g)}$$ Pour $p = 2$, on a $q = 2$, et l'on obtient l'inégalité de Cauchy-Schwarz, que le chapitre 19 replacera dans un cadre général : $$\boxed{\int_{0}^{1} |fg| \leqslant \Big(\int_{0}^{1} f^{2}\Big)^{1/2}\Big(\int_{0}^{1} g^{2}\Big)^{1/2}}$$

Piège. Pour $f$ seulement continue par morceaux, $N_{p}(f) = 0$ n'entraîne pas $f = 0$ (le théorème 4 exige la continuité) : on ne peut donc pas se contenter de traiter le cas $N_{p}(f) > 0$ en disant que l'autre est trivial. C'est pourquoi on a introduit le paramètre $\lambda$.

2.(c) Si $p_{1} = p_{2}$, il n'y a rien à démontrer. Sinon, on applique l'inégalité de Hölder avec l'exposant $p = \frac{p_{2}}{p_{1}} > 1$ aux fonctions $|f|^{p_{1}}$ et $1$ ; comme $N_{q}(1) = 1$ et $\big(|f|^{p_{1}}\big)^{p} = |f|^{p_{2}}$, $$\int_{0}^{1} |f|^{p_{1}} \leqslant \Big(\int_{0}^{1} |f|^{p_{2}}\Big)^{p_{1}/p_{2}}, \qquad\text{d'où, en élevant à la puissance } \frac{1}{p_{1}}, \qquad \boxed{N_{p_{1}}(f) \leqslant N_{p_{2}}(f)}$$ Ainsi $p \mapsto N_{p}(f)$ est croissante, ce qui est cohérent avec la question 1. Pour $f(t) = t$, on trouve $N_{1} = \frac{1}{2}$, $N_{2} = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0{,}577$, et $N_{p} = (p + 1)^{-1/p}$ tend vers $1$ ✓. Le résultat utilise que l'intervalle est de longueur $1$ : sur un segment de longueur $L$, un facteur $L^{1/p_{1} - 1/p_{2}}$ apparaîtrait.

3.(a) Pour tout $t$, l'inégalité triangulaire $|f + g| \leqslant |f| + |g|$, multipliée par $|f + g|^{p - 1} \geqslant 0$, donne $|f + g|^{p} \leqslant |f|\,|f + g|^{p - 1} + |g|\,|f + g|^{p - 1}$. On intègre : $$\boxed{N_{p}(f + g)^{p} \leqslant \int_{0}^{1} |f|\,|f + g|^{p - 1} + \int_{0}^{1} |g|\,|f + g|^{p - 1}}$$

3.(b) On applique l'inégalité de Hölder à chacune des deux intégrales, avec $q = \frac{p}{p - 1}$. Comme $(p - 1)q = p$, $$\int_{0}^{1} |f|\,|f + g|^{p - 1} \leqslant N_{p}(f)\Big(\int_{0}^{1} |f + g|^{p}\Big)^{1/q} = N_{p}(f)\,N_{p}(f + g)^{p/q},$$ et de même pour $g$. Ainsi $N_{p}(f + g)^{p} \leqslant \big(N_{p}(f) + N_{p}(g)\big)N_{p}(f + g)^{p/q}$. Si $N_{p}(f + g) = 0$, l'inégalité cherchée est évidente ; sinon, on divise par $N_{p}(f + g)^{p/q}$, et $p - \frac{p}{q} = 1$. $$\boxed{N_{p}(f + g) \leqslant N_{p}(f) + N_{p}(g)}$$ À retenir. L'inégalité de Minkowski est une inégalité triangulaire pour $N_{p}$ : avec $N_{p}(\lambda f) = |\lambda|\,N_{p}(f)$, elle fait de $N_{p}$ une mesure de la « taille » d'une fonction, qui généralise la valeur absolue. Le cas $p = 1$ est immédiat, et le cas $p = 2$ reviendra au chapitre 19. La difficulté était de savoir à quoi appliquer Hölder : on a fait apparaître $N_{p}(f + g)$ des deux côtés, puis simplifié.