Exercice 13

1. On raisonne par l'absurde, en supposant que $f$ s'annule au plus une fois sur $]0\,,\pi[$. L'outil est le théorème 4 : si une fonction continue $h$ garde un signe constant strict sur $[0\,,\pi]$ privé d'un nombre fini de points, alors $\int_{0}^{\pi} h \neq 0$, puisque $|h|$ est continue, positive et non nulle.

• Si $f$ ne s'annule pas sur $]0\,,\pi[$, elle y garde un signe strict constant (chapitre 8, proposition 15), et $h(t) = f(t)\sin t$ aussi, puisque $\sin t > 0$ sur $]0\,,\pi[$. Alors $\int_{0}^{\pi} f(t)\sin t\,\mathrm{d} t \neq 0$ : contradiction.

• Si $f$ s'annule en un seul point $\alpha$ de $]0\,,\pi[$, elle garde un signe strict constant sur $]0\,,\alpha[$ et sur $]\alpha\,,\pi[$. Si ces signes sont les mêmes, on conclut comme ci-dessus avec $f(t)\sin t$. S'ils sont opposés, on considère $h(t) = f(t)\sin(t - \alpha)$ : pour $t \in \,]0\,,\alpha[$, on a $t - \alpha \in \,]-\pi\,,0[$ et $\sin(t - \alpha) < 0$ ; pour $t \in \,]\alpha\,,\pi[$, on a $t - \alpha \in \,]0\,,\pi[$ et $\sin(t - \alpha) > 0$. Le facteur $\sin(t - \alpha)$ change de signe en $\alpha$ en même temps que $f$, et $h$ garde un signe strict constant sur $]0\,,\alpha[\, \cup \,]\alpha\,,\pi[$. Or $$\int_{0}^{\pi} h = \cos\alpha\int_{0}^{\pi} f(t)\sin t\,\mathrm{d} t - \sin\alpha\int_{0}^{\pi} f(t)\cos t\,\mathrm{d} t = 0,$$ ce qui est une contradiction.

2. On cherche une fonction trigonométrique dont les produits par $\sin$ et $\cos$ s'intègrent en $0$. La fonction $f(t) = \sin 3t$ convient : en linéarisant (chapitre 4), $$\int_{0}^{\pi} \sin 3t\,\sin t\,\mathrm{d} t = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} (\cos 2t - \cos 4t)\,\mathrm{d} t = 0, \qquad \int_{0}^{\pi} \sin 3t\,\cos t\,\mathrm{d} t = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi} (\sin 4t + \sin 2t)\,\mathrm{d} t = 0.$$

$$\boxed{f(t) = \sin 3t \text{ vérifie les hypothèses}}$$ Elle s'annule exactement en $\frac{\pi}{3}$ et $\frac{2\pi}{3}$ sur $]0\,,\pi[$ : le nombre de zéros garanti par la question 1 est atteint. En revanche, $\sin 2t$ ne convient pas, car $\int_{0}^{\pi} \sin 2t\cos t\,\mathrm{d} t = \frac{4}{3}$.

À retenir. Les conditions $\int f\sin = \int f\cos = 0$ entraînent $\int f\,g = 0$ pour toute combinaison $g = \lambda\sin + \mu\cos$, et l'on choisit $g$ pour qu'elle change de signe là où $f$ en change. L'exercice 14 applique la même idée avec des polynômes à la place des fonctions trigonométriques.