Exercice 12

1. Soit $\varepsilon > 0$, et $A > 0$ tel que $|f(t) - \ell| \leqslant \varepsilon$ pour $t \geqslant A$. Pour $x > A$, on écrit $\ell = \frac{1}{x}\int_{0}^{x} \ell\,\mathrm{d} t$ et l'on coupe en $A$ : $$\Big|\frac{1}{x}\int_{0}^{x} f(t)\,\mathrm{d} t - \ell\Big| \leqslant \frac{1}{x}\Big|\int_{0}^{A} \big(f(t) - \ell\big)\,\mathrm{d} t\Big| + \frac{1}{x}\int_{A}^{x} |f(t) - \ell|\,\mathrm{d} t \leqslant \frac{C}{x} + \frac{x - A}{x}\,\varepsilon,$$ où $C = \Big|\int_{0}^{A} (f - \ell)\Big|$ ne dépend pas de $x$. Pour $x > \max\big(A, \frac{C}{\varepsilon}\big)$, le majorant est au plus $2\varepsilon$. $$\boxed{\frac{1}{x}\int_{0}^{x} f(t)\,\mathrm{d} t \xrightarrow[x \to +\infty]{} \ell}$$ C'est la version intégrale du lemme de Cesàro (exercice 47 du chapitre 7) : la moyenne des valeurs de $f$ sur $[0\,,x]$ tend vers la limite de $f$. Le début de l'intervalle, où $f$ peut être loin de $\ell$, pèse de moins en moins dans la moyenne.

2. Notons $I = \int_{0}^{T} f$ et $M = \max_{[0, T]} |f|$, qui majore $|f|$ sur $\mathbb{R}$ par périodicité. Pour $x > 0$, soit $N = \lfloor \frac{x}{T} \rfloor$, de sorte que $NT \leqslant x < (N + 1)T$. Chaque intégrale $\int_{kT}^{(k + 1)T} f$ vaut $I$ (chapitre 6, proposition 6), et la relation de Chasles donne $$\int_{0}^{x} f = NI + \int_{NT}^{x} f, \qquad\text{avec}\qquad \Big|\int_{NT}^{x} f\Big| \leqslant (x - NT)M \leqslant TM.$$ Ainsi $\Big|\frac{1}{x}\int_{0}^{x} f - \frac{N}{x}I\Big| \leqslant \frac{TM}{x}$, qui tend vers $0$, et $\frac{1}{T} - \frac{1}{x} < \frac{N}{x} \leqslant \frac{1}{T}$ donne $\frac{N}{x} \to \frac{1}{T}$. $$\boxed{\frac{1}{x}\int_{0}^{x} f(t)\,\mathrm{d} t \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)\,\mathrm{d} t}$$ La moyenne sur $[0\,,x]$ tend vers la valeur moyenne de $f$ sur une période. Pour $f = \sin^{2}$, de période $\pi$, on trouve $\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi} \sin^{2} = \frac{1}{2}$ ✓.

Piège. La question 1 ne s'applique pas ici : une fonction périodique non constante n'a pas de limite en $+\infty$. Pourtant sa moyenne converge : la réciproque de la question 1 est fausse, comme pour le lemme de Cesàro sur les suites, où la suite $\big((-1)^{n}\big)$ a des moyennes qui tendent vers $0$.