Exercice 11

La fonction $x \mapsto f(x^{n})$ est continue sur $[0\,,1]$, et $x^{n}$ tend vers $0$ pour $x \in [0\,,1[$, mais pas pour $x = 1$ : on s'attend à la limite $f(0)$, et l'on contrôle séparément la zone proche de $1$, où $x^{n}$ n'est pas petit, en coupant en $\alpha$.

Soit $M$ un majorant de $|f|$ sur $[0\,,1]$, qui existe par le théorème des bornes atteintes (chapitre 8, théorème 10), et que l'on peut supposer strictement positif. Soit $\varepsilon > 0$.

• Par continuité de $f$ en $0$, il existe $\eta > 0$ tel que $|f(y) - f(0)| \leqslant \varepsilon$ pour $y \in [0\,,\eta]$.

• On choisit $\alpha = 1 - \frac{\varepsilon}{2M + \varepsilon} \in \,]0\,,1[$, de sorte que $2M(1 - \alpha) = \frac{2M\varepsilon}{2M + \varepsilon} \leqslant \varepsilon$.

• Comme $\alpha^{n} \to 0$, il existe $n_{0}$ tel que $\alpha^{n} \leqslant \eta$ pour $n \geqslant n_{0}$ ; alors, pour $x \in [0\,,\alpha]$, $0 \leqslant x^{n} \leqslant \alpha^{n} \leqslant \eta$.

Pour $n \geqslant n_{0}$, on écrit $f(0) = \int_{0}^{1} f(0)\,\mathrm{d} x$, et l'on coupe en $\alpha$ : $$\Big|\int_{0}^{1} f(x^{n})\,\mathrm{d} x - f(0)\Big| \leqslant \int_{0}^{\alpha} \big|f(x^{n}) - f(0)\big|\,\mathrm{d} x + \int_{\alpha}^{1} \big|f(x^{n}) - f(0)\big|\,\mathrm{d} x \leqslant \alpha\varepsilon + 2M(1 - \alpha) \leqslant 2\varepsilon.$$

$$\boxed{\int_{0}^{1} f(x^{n})\,\mathrm{d} x \xrightarrow[n \to +\infty]{} f(0)}$$ Pour $f = \cos$ et $n = 200$, l'intégrale vaut environ $0{,}9988$ ✓.

À retenir. L'ordre des choix est essentiel : on fixe d'abord $\alpha$, qui rend petite la contribution de la zone $[\alpha\,,1]$ grâce à sa longueur, puis $n$, qui rend petite celle de $[0\,,\alpha]$ grâce à la convergence de $\alpha^{n}$. On ne peut pas prendre $\alpha = 1$ : la convergence de $x^{n}$ vers $0$ n'est pas uniforme sur $[0\,,1[$. Le même découpage resservira à l'exercice 29.