Exercice 10

Dans les trois cas, la fonction intégrée est continue et positive, et l'on la majore par une fonction dont on connaît une primitive.

(a) Pour $x \in [0\,,1]$, $0 \leqslant \ln(1 + x) \leqslant \ln 2$, donc $0 \leqslant x^{n}\ln(1 + x) \leqslant x^{n}\ln 2$. En intégrant, $$\boxed{0 \leqslant \int_{0}^{1} x^{n}\ln(1 + x)\,\mathrm{d} x \leqslant \frac{\ln 2}{n + 1}, \qquad\text{limite } 0}$$

(b) Pour $t \geqslant 0$, $\frac{1}{1 + \mathrm{e}^{nt}} \leqslant \frac{1}{\mathrm{e}^{nt}} = \mathrm{e}^{-nt}$. En intégrant, $$\boxed{0 \leqslant \int_{0}^{n} \frac{\mathrm{d} t}{1 + \mathrm{e}^{nt}} \leqslant \int_{0}^{n} \mathrm{e}^{-nt}\,\mathrm{d} t = \frac{1 - \mathrm{e}^{-n^{2}}}{n} \leqslant \frac{1}{n}, \qquad\text{limite } 0}$$ Ici, l'intervalle d'intégration s'allonge avec $n$, mais la fonction intégrée décroît assez vite pour que cela ne compte pas. On peut d'ailleurs calculer l'intégrale exactement, en écrivant $\frac{1}{1 + \mathrm{e}^{nt}} = 1 - \frac{\mathrm{e}^{nt}}{1 + \mathrm{e}^{nt}}$, de la forme $1 - \frac{1}{n}\frac{u'}{u}$ : elle vaut $\frac{\ln 2 - \ln(1 + \mathrm{e}^{-n^{2}})}{n}$, équivalente à $\frac{\ln 2}{n}$ ✓.

(c) L'inégalité de Jordan $\sin t \geqslant \frac{2t}{\pi}$, valable sur $\big[0\,,\frac{\pi}{2}\big]$, et la décroissance de la fonction $u \mapsto \mathrm{e}^{-nu}$ donnent $$0 \leqslant \mathrm{e}^{-n\sin t} \leqslant \mathrm{e}^{-2nt/\pi} \qquad \Big(0 \leqslant t \leqslant \frac{\pi}{2}\Big).$$ En intégrant, $$\boxed{0 \leqslant \int_{0}^{\pi/2} \mathrm{e}^{-n\sin t}\,\mathrm{d} t \leqslant \int_{0}^{\pi/2} \mathrm{e}^{-2nt/\pi}\,\mathrm{d} t = \frac{\pi}{2n}\big(1 - \mathrm{e}^{-n}\big) \leqslant \frac{\pi}{2n}, \qquad\text{limite } 0}$$ Pour $n = 20$, l'intégrale vaut environ $0{,}0501$, et la majoration $0{,}0785$ ✓.

Piège. En (c), la fonction intégrée vaut $1$ en $t = 0$ pour tout $n$ : elle ne tend pas vers $0$ uniformément, et la majoration triviale $\mathrm{e}^{-n\sin t} \leqslant 1$ ne donne rien. C'est la situation de l'exercice 6 ; l'inégalité de Jordan montre que la zone où la fonction n'est pas petite a une longueur de l'ordre de $\frac{1}{n}$.