Exercice 9

1. Notons $S = \int_{a}^{b} f$. Si $S \geqslant 0$, l'hypothèse s'écrit $\int_{a}^{b} (|f| - f) = 0$ ; la fonction $|f| - f$ est continue et positive, donc nulle par le théorème 4, et $f = |f| \geqslant 0$. Si $S < 0$, on obtient de même $\int_{a}^{b} (|f| + f) = 0$, et $f = -|f| \leqslant 0$. $$\boxed{f \geqslant 0 \text{ sur } [a\,,b] \text{ si } \int_{a}^{b} f \geqslant 0, \qquad f \leqslant 0 \text{ sur } [a\,,b] \text{ sinon}}$$

2. Si $\int_{0}^{1} f = 0$, alors $\int_{0}^{1} |f| = 0$, et $|f|$, continue et positive, est nulle : $f = 0$ convient avec $g = 0$ et $\theta = 0$. Sinon, on écrit, comme dans la démonstration du théorème 5, $\int_{0}^{1} f = r\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ avec $r > 0$. Par linéarité, $\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}f = r$ est réel, et la proposition 8 donne $\int_{0}^{1} \operatorname{Re}\big(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}f\big) = r = \int_{0}^{1} |f|$. Ainsi $$\int_{0}^{1} \Big(|f(t)| - \operatorname{Re}\big(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}f(t)\big)\Big)\,\mathrm{d} t = 0.$$ La fonction intégrée est continue et positive, puisque $\operatorname{Re} z \leqslant |z|$ et $|\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}f(t)| = |f(t)|$ ; elle est donc nulle. Or, pour $z = x + \mathrm{i} y$ complexe, $\operatorname{Re} z = |z|$ s'écrit $x = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$, ce qui impose $y = 0$ et $x \geqslant 0$ : le nombre $\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}f(t)$ est un réel positif, égal à $|f(t)|$. $$\boxed{f(t) = g(t)\,\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \quad\text{avec}\quad g = |f| \text{ continue et positive}}$$ À retenir. C'est le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire complexe : il n'y a égalité que si toutes les valeurs $f(t)$ sont sur une même demi-droite issue de $0$, de sorte qu'elles ne se compensent pas. La question 1 en est le cas réel, où les deux demi-droites possibles sont $\mathbb{R}_{+}$ et $\mathbb{R}_{-}$. On comparera avec le cas d'égalité de l'inégalité triangulaire pour deux complexes (chapitre 4, théorème 3), qui reposait sur la même équivalence $\operatorname{Re} w = |w| \iff w \in \mathbb{R}_{+}$.