Exercice 8

1. Posons $g(x) = f(x) - x$, continue sur $[0\,,1]$, et supposons que $f$ n'a pas de point fixe. La fonction $g$ ne s'annule pas sur l'intervalle $[0\,,1]$, donc garde un signe strict constant (chapitre 8, proposition 15). Deux cas se présentent.

• Si $g < 0$, alors $f(0) = g(0) < 0$, ce qui contredit la positivité de $f$.

• Si $g > 0$, la fonction $g$ est continue, positive et non nulle, donc d'intégrale strictement positive (théorème 4, sous forme contraposée) : $\int_{0}^{1} f > \int_{0}^{1} x\,\mathrm{d} x = \frac{1}{2}$, ce qui contredit l'hypothèse.

2. La positivité n'a servi qu'à exclure le cas $g < 0$, et elle est indispensable : la fonction $f : x \mapsto x - 1$ est continue, d'intégrale $-\frac{1}{2} \leqslant \frac{1}{2}$, et l'équation $x - 1 = x$ n'a pas de solution. $$\boxed{\text{oui : } f(x) = x - 1 \text{ vérifie } \int_{0}^{1} f = -\frac{1}{2} \text{ et n'a aucun point fixe}}$$ À retenir. La constante $\frac{1}{2}$ est optimale : pour tout $\varepsilon > 0$, la fonction $x \mapsto x + \varepsilon$ est positive, d'intégrale $\frac{1}{2} + \varepsilon$, et n'a pas de point fixe. L'inégalité stricte du théorème 4 est ce qui permet d'atteindre le cas limite $\int_{0}^{1} f = \frac{1}{2}$.