Exercice 7

Les trois questions reposent sur le théorème 4 : une fonction continue, positive et d'intégrale nulle est nulle. Il s'agit chaque fois de fabriquer, à partir des hypothèses, une telle fonction.

1. Comme $f \leqslant |f| \leqslant 1$, la fonction $1 - f$ est continue et positive, et $$\int_{a}^{b} (1 - f) = (b - a) - \int_{a}^{b} f = 0.$$ Par le théorème 4, $1 - f$ est nulle. $$\boxed{f \text{ est la fonction constante égale à } 1}$$ Réciproquement, cette fonction convient.

2. Comme $f$ est à valeurs dans $[0\,,1]$, la fonction $f - f^{2} = f(1 - f)$ est continue et positive ; par hypothèse, son intégrale est nulle. Par le théorème 4, $f(x)(1 - f(x)) = 0$, c'est-à-dire $f(x) \in \{0, 1\}$, pour tout $x \in [0\,,1]$. Or $f([0\,,1])$ est un intervalle (chapitre 8, théorème 9) contenu dans $\{0, 1\}$ : il est réduit à un point. $$\boxed{f = 0 \quad\text{ou}\quad f = 1}$$ Réciproquement, ces deux fonctions conviennent.

3. On cherche une combinaison des trois intégrales qui soit l'intégrale d'une fonction positive. Le carré $f^{2}(1 - f)^{2} = f^{2} - 2f^{3} + f^{4}$ convient : $$\int_{0}^{1} f^{2}(1 - f)^{2} = \int_{0}^{1} f^{2} - 2\int_{0}^{1} f^{3} + \int_{0}^{1} f^{4} = 0.$$ La fonction $f^{2}(1 - f)^{2}$ est continue et positive, donc nulle, et $f(x) \in \{0, 1\}$ pour tout $x$. On conclut comme à la question 2. $$\boxed{f = 0 \quad\text{ou}\quad f = 1}$$ Piège. Le théorème 4 exige la continuité. L'erreur la plus répandue est de l'appliquer à une fonction continue par morceaux : la fonction égale à $1$ en $\frac{1}{2}$ et nulle ailleurs vérifie les hypothèses de la question 3, sauf la continuité, et n'est ni nulle ni égale à $1$. Le passage par le théorème des valeurs intermédiaires, à la fin, utilise lui aussi la continuité.