Exercice 55

Idée. On décompose $\frac{P'}{P}$ en somme de termes $\frac{m_{j}}{X - a_{j}}$, ce qui ramène le problème au calcul de $\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x} - a}\,\mathrm{d} x$ pour un seul complexe $a$ de module différent de $1$. On écrit ce quotient comme une somme géométrique finie, plus un reste que l'on majore, et l'on utilise $\int_{0}^{2\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}\,\mathrm{d} x = 0$ pour $k$ entier non nul.

Si $P$ est constant, $P' = 0$, l'intégrale est nulle et $P$ n'a pas de racine : le résultat est vrai. Sinon, $P$ est scindé dans $\mathbb{C}[X]$ (chapitre 13, proposition 16) : $P = \lambda(X - a_{1})^{m_{1}}\cdots(X - a_{r})^{m_{r}}$, avec des $a_{j}$ distincts, et par hypothèse $|a_{j}| \neq 1$. La décomposition de la dérivée logarithmique (chapitre 13, proposition 24), évaluée en un point $z$ qui n'est pas racine, donne $\frac{P'(z)}{P(z)} = \sum_{j=1}^{r} \frac{m_{j}}{z - a_{j}}$. Avec $z = \mathrm{e}^{\mathrm{i} x}$, la linéarité de l'intégrale donne $$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}P'(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x})}{P(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x})}\,\mathrm{d} x = \sum_{j=1}^{r} m_{j}\,K(a_{j}), \qquad\text{où}\qquad K(a) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x} - a}\,\mathrm{d} x.$$ Les intégrandes sont continus, puisque $\mathrm{e}^{\mathrm{i} x} \neq a_{j}$. Il reste à montrer que $K(a) = 1$ si $|a| < 1$ et $K(a) = 0$ si $|a| > 1$. On utilise deux outils.

• Pour $k \in \mathbb{Z}^{*}$, $x \mapsto \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}}{\mathrm{i} k}$ est une primitive de $\mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}$, et elle prend la même valeur en $0$ et en $2\pi$ : $\int_{0}^{2\pi} \mathrm{e}^{\mathrm{i} kx}\,\mathrm{d} x = 0$.

• Pour $q \in \mathbb{C}$, $q \neq 1$, et $N \in \mathbb{N}$, la somme géométrique donne $\frac{1}{1 - q} = \sum_{k=0}^{N} q^{k} + \frac{q^{N+1}}{1 - q}$.

Cas $|a| < 1$. On écrit $\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x} - a} = \frac{1}{1 - q}$ avec $q = a\,\mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}$, de module $|a| < 1$. Par la somme géométrique, et comme $\int_{0}^{2\pi} q^{k}\,\mathrm{d} x = a^{k}\int_{0}^{2\pi} \mathrm{e}^{-\mathrm{i} kx}\,\mathrm{d} x$ est nul pour $k \geqslant 1$ et vaut $2\pi$ pour $k = 0$, $$2\pi K(a) = 2\pi + \int_{0}^{2\pi} \frac{q^{N+1}}{1 - q}\,\mathrm{d} x.$$ Comme $|1 - q| \geqslant 1 - |q| = 1 - |a|$, l'inégalité triangulaire complexe (théorème 5) donne $$\big|2\pi K(a) - 2\pi\big| \leqslant 2\pi\,\frac{|a|^{N+1}}{1 - |a|}.$$ Le premier membre ne dépend pas de $N$, et le second tend vers $0$ quand $N \to +\infty$ : $K(a) = 1$.

Cas $|a| > 1$. On écrit cette fois $\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x} - a} = -\frac{q}{1 - q}$ avec $q = \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}}{a}$, de module $\frac{1}{|a|} < 1$. La somme géométrique, multipliée par $q$, donne $\frac{q}{1 - q} = \sum_{k=1}^{N+1} q^{k} + \frac{q^{N+2}}{1 - q}$, où chaque $q^{k}$, pour $k \geqslant 1$, est d'intégrale nulle. Donc $$\big|2\pi K(a)\big| = \Big|\int_{0}^{2\pi} \frac{q^{N+2}}{1 - q}\,\mathrm{d} x\Big| \leqslant 2\pi\,\frac{|a|^{-(N+2)}}{1 - |a|^{-1}} \xrightarrow[N \to +\infty]{} 0,$$ et $K(a) = 0$. En reportant, $$\boxed{\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}P'(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x})}{P(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x})}\,\mathrm{d} x = \sum_{|a_{j}| < 1} m_{j} = \text{nombre de racines de module} < 1, \text{ comptées avec multiplicité}}$$ Pour $P = (X - 0{,}5)(X + 0{,}3\mathrm{i})(X - 2)(X - 1{,}5\mathrm{i})^{2}$, une intégration numérique donne $2{,}000$, et pour $P = (X - 0{,}2)^{3}(X + 3)$, elle donne $3{,}000$ ✓.

Piège. L'erreur la plus répandue est de développer $\frac{1}{1 - q}$ en « somme infinie » $\sum q^{k}$ et d'intégrer terme à terme : c'est une manipulation de série, qui n'est pas justifiée à ce stade. La somme géométrique finie, avec son reste explicite, donne le même résultat de façon rigoureuse.

À retenir. L'intégrale compte les racines : c'est un entier, alors que l'intégrande n'a rien d'entier. Ce résultat est un cas particulier du principe de l'argument, qui sera étudié en analyse complexe ; il dit que l'argument de $P(\mathrm{e}^{\mathrm{i} x})$ fait autant de tours autour de $0$, quand $x$ parcourt $[0\,,2\pi]$, que $P$ a de racines dans le disque.