Exercice 54

Idée. On majore $\sqrt{1 + u^{2}}$ par $1 + |u|$, ce qui ramène $L$ à $1 + \int_{0}^{1} |f'|$. Comme $f'$ est croissante, elle change de signe au plus une fois : $f$ descend puis remonte, et chaque trajet vertical est au plus $1$. Pour l'optimalité, on prend des fonctions $|2x - 1|^{p}$, dont la courbe ressemble de plus en plus à un chemin en forme de « V » plat, qui longe le bord inférieur puis les deux bords verticaux du carré.

Majoration. Pour tout réel $u$, $(1 + |u|)^{2} = 1 + 2|u| + u^{2} \geqslant 1 + u^{2}$, avec égalité si et seulement si $u = 0$ ; donc $\sqrt{1 + u^{2}} \leqslant 1 + |u|$, et l'inégalité est stricte pour $u \neq 0$. Ainsi $L \leqslant 1 + \int_{0}^{1} |f'|$. Montrons que $\int_{0}^{1} |f'| \leqslant 2$, en distinguant trois cas selon le signe de $f'$, qui est continue et croissante.

• Si $f'(0) \geqslant 0$, alors $f' \geqslant 0$ sur $[0\,,1]$, et $\int_{0}^{1} |f'| = f(1) - f(0) \leqslant 1$, puisque $f$ est à valeurs dans $[0\,,1]$.

• Si $f'(1) \leqslant 0$, de même $\int_{0}^{1} |f'| = f(0) - f(1) \leqslant 1$.

• Sinon, $f'(0) < 0 < f'(1)$, et le théorème des valeurs intermédiaires fournit $c$ tel que $f'(c) = 0$. Par croissance, $f' \leqslant 0$ sur $[0\,,c]$ et $f' \geqslant 0$ sur $[c\,,1]$, d'où $$\int_{0}^{1} |f'| = -\int_{0}^{c} f' + \int_{c}^{1} f' = \big(f(0) - f(c)\big) + \big(f(1) - f(c)\big) \leqslant 1 + 1.$$

Dans tous les cas, $L \leqslant 3$. Pour l'inégalité stricte, la fonction $g = 1 + |f'| - \sqrt{1 + f'^{2}}$ est continue et positive. Si $f'$ n'est pas identiquement nulle, $g$ ne l'est pas, et $\int_{0}^{1} g > 0$ par le théorème 4, d'où $L < 1 + \int_{0}^{1} |f'| \leqslant 3$. Si $f' = 0$, alors $L = 1 < 3$. $$\boxed{L < 3}$$

Optimalité. Pour $p \geqslant 2$, la fonction $f_{p}(x) = |2x - 1|^{p}$ est à valeurs dans $[0\,,1]$, de classe $\mathcal{C}^{1}$, de dérivée $f_{p}'(x) = 2p\,|2x - 1|^{p-1}$ pour $x \geqslant \frac{1}{2}$ et $-2p\,|2x - 1|^{p-1}$ pour $x \leqslant \frac{1}{2}$, qui est croissante. Par la symétrie $x \mapsto 1 - x$, puis par le changement de variable $u = 2x - 1$ sur $\big[\frac{1}{2}\,,1\big]$, $$L_{p} = 2\int_{1/2}^{1} \sqrt{1 + 4p^{2}(2x - 1)^{2p - 2}}\,\mathrm{d} x = \int_{0}^{1} \sqrt{1 + 4p^{2}u^{2p - 2}}\,\mathrm{d} u.$$ Soit $\delta \in \,]0\,,1[$. On minore l'intégrande par $1$ sur $[0\,,\delta]$, et par $2pu^{p-1}$ sur $[\delta\,,1]$ : $$L_{p} \geqslant \delta + \int_{\delta}^{1} 2pu^{p-1}\,\mathrm{d} u = \delta + 2\big(1 - \delta^{p}\big).$$ Soit $M < 3$. On choisit $\delta \in \,]0\,,1[$ tel que $2 + \delta > M$ ; comme $\delta^{p} \to 0$ quand $p \to +\infty$, on a $2 + \delta - 2\delta^{p} > M$ pour $p$ assez grand, et donc $L_{p} > M$. $$\boxed{\sup L = 3 : \text{ le nombre } 3 \text{ ne peut pas être remplacé par un nombre plus petit}}$$ Numériquement, $L_{2} \approx 2{,}323$, $L_{10} \approx 2{,}701$, $L_{100} \approx 2{,}945$ et $L_{1000} \approx 2{,}992$ ✓.

À retenir. La borne $3$ n'est jamais atteinte, mais elle est approchée : c'est une borne supérieure, pas un maximum. Elle se lit sur la figure du chemin limite, qui parcourt un côté vertical de longueur $1$, puis le côté inférieur, de longueur $1$, puis l'autre côté vertical. Une courbe de pente croissante, prisonnière du carré, ne peut pas être plus longue que ce chemin.