Exercice 53

Idée. La différence $f(x)^{2} - f(y)^{2}$ est l'intégrale de $(f^{2})' = 2ff'$. On sépare le produit $|f|\,|f'|$ par l'inégalité $2uv \leqslant \frac{u^{2}}{\varepsilon} + \varepsilon v^{2}$, puis on fait la moyenne en $y$ pour remplacer $f(y)^{2}$ par une intégrale.

Soit $\varepsilon > 0$ et $f$ de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $[a\,,b]$. Pour tous réels $u$, $v$, on a $0 \leqslant \big(\frac{u}{\sqrt{\varepsilon}} - \sqrt{\varepsilon}\,v\big)^{2}$, c'est-à-dire $$2uv \leqslant \frac{u^{2}}{\varepsilon} + \varepsilon v^{2}.$$ Soit $x$, $y \in [a\,,b]$. La fonction $f^{2}$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$, de dérivée $2ff'$, donc, par le théorème 6 et l'inégalité triangulaire, $$f(x)^{2} - f(y)^{2} = \int_{y}^{x} 2f(t)f'(t)\,\mathrm{d} t \leqslant \int_{a}^{b} 2|f|\,|f'| \leqslant \frac{1}{\varepsilon}\int_{a}^{b} f^{2} + \varepsilon\int_{a}^{b} f'^{2}.$$ Le cas $y = a$ est l'indication de l'énoncé. On fixe $x$ et l'on intègre cette inégalité par rapport à $y$ sur $[a\,,b]$, puis l'on divise par $b - a$ : $$f(x)^{2} \leqslant \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f^{2} + \frac{1}{\varepsilon}\int_{a}^{b} f^{2} + \varepsilon\int_{a}^{b} f'^{2}.$$ Le second membre ne dépend pas de $x$, et $f^{2}$ atteint son maximum sur le segment $[a\,,b]$ : $$\boxed{\max_{[a, b]} f^{2} \leqslant D\int_{a}^{b} f^{2} + \varepsilon\int_{a}^{b} f'^{2}, \qquad D = \frac{1}{b - a} + \frac{1}{\varepsilon}}$$ La constante $D$ ne dépend que de $a$, $b$ et $\varepsilon$, et pas de $f$, comme l'exige l'énoncé. On a contrôlé l'inégalité sur des fonctions trigonométriques et polynomiales aléatoires, pour $\varepsilon = 0{,}01$ et $\varepsilon = 0{,}5$ ✓.

Piège. Le terme $\varepsilon\int f'^{2}$ ne peut pas être supprimé : aucune inégalité $\max f^{2} \leqslant D\int_{a}^{b} f^{2}$ n'est vraie pour toutes les $f$. Pour $f_{k}(x) = \mathrm{e}^{-k(x - a)}$, on a $\max f_{k}^{2} = 1$, alors que $\int_{a}^{b} f_{k}^{2} \leqslant \frac{1}{2k}$ tend vers $0$. Une fonction peut avoir une intégrale de $f^{2}$ minuscule et un maximum élevé, à condition de varier vite ; c'est ce que mesure $\int f'^{2}$, qui vaut ici environ $\frac{k}{2}$.

À retenir. Le prix à payer pour un petit coefficient $\varepsilon$ devant $\int f'^{2}$ est un grand coefficient $D$, de l'ordre de $\frac{1}{\varepsilon}$, devant $\int f^{2}$. Ce type d'inégalité, qui contrôle les valeurs d'une fonction par des intégrales de la fonction et de sa dérivée, est fondamental en analyse ; il complète l'exercice 54 du chapitre 9, où $f'$ était contrôlée par $f$ et $f''$.