Exercice 21

1. Il n'y a ici aucune intégrale à calculer : on suit l'indication, et l'on applique le théorème de Rolle (chapitre 9, théorème 4) à la fonction $$\varphi(x) = \int_{a}^{x} f \times \int_{x}^{b} g, \qquad x \in [a\,,b].$$ Par le théorème 6, les fonctions $x \mapsto \int_{a}^{x} f$ et $x \mapsto \int_{x}^{b} g = -\int_{b}^{x} g$ sont de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $[a\,,b]$, de dérivées $f$ et $-g$. Leur produit $\varphi$ est donc dérivable, et $$\varphi'(x) = f(x)\int_{x}^{b} g - g(x)\int_{a}^{x} f.$$ De plus, $\varphi(a) = 0$, puisque le premier facteur est nul, et $\varphi(b) = 0$, puisque le second l'est. Le théorème de Rolle fournit $\theta \in \,]a\,,b[$ tel que $\varphi'(\theta) = 0$. $$\boxed{\exists\,\theta \in \,]a\,,b[, \quad f(\theta)\int_{\theta}^{b} g = g(\theta)\int_{a}^{\theta} f}$$

2. L'idée est de trouver un point $d \in [0\,,1[$ tel que $f(d) = f(1)$, puis d'appliquer le théorème de Rolle sur $[d\,,1]$. Supposons par l'absurde que $f(x) \neq f(1)$ pour tout $x \in [0\,,1[$. La fonction $h = f - f(1)$ est continue et ne s'annule pas sur l'intervalle $[0\,,1[$ : elle y garde un signe constant strict (chapitre 8, proposition 15), et l'on peut supposer $h > 0$ sur $[0\,,1[$, quitte à changer $f$ en $-f$. Alors $h$ est continue, positive sur $[0\,,1]$ (avec $h(1) = 0$), et non identiquement nulle ; mais, par hypothèse, $$\int_{0}^{1} h = \int_{0}^{1} f - f(1) = 0,$$ ce que le théorème 4 interdit. Il existe donc $d \in [0\,,1[$ tel que $f(d) = f(1)$. La fonction $f$ est continue sur $[d\,,1]$, dérivable sur $]d\,,1[$, et prend la même valeur aux deux bornes : le théorème de Rolle conclut. $$\boxed{\exists\,c \in \,]d\,,1[\, \subset [0\,,1], \quad f'(c) = 0}$$ Piège. L'égalité de la moyenne (proposition 7) fournit bien $d \in [0\,,1]$ tel que $f(d) = \int_{0}^{1} f = f(1)$, mais rien n'empêche alors d'avoir $d = 1$, et le théorème de Rolle sur le segment $[1\,,1]$ ne dit rien. L'erreur la plus répandue est de ne pas voir ce cas : c'est le théorème 4, et non la seule proposition 7, qui permet de l'écarter.