Exercice 22

La valeur absolue $|t - x|$ change d'expression en $t = x$ : on découpe donc l'intégrale par la relation de Chasles en ce point, lorsqu'il est dans $[a\,,b]$, puis on dérive les intégrales dont la borne dépend de $x$ par le théorème 6. On note $A = \int_{a}^{b} f$ et $B = \int_{a}^{b} tf(t)\,\mathrm{d} t$.

Cas $x \leqslant a$ et $x \geqslant b$. Pour $x \leqslant a$, on a $|t - x| = t - x$ pour tout $t \in [a\,,b]$, donc $F(x) = B - xA$ ; pour $x \geqslant b$, de même, $F(x) = xA - B$. Sur ces deux intervalles, $F$ est affine, de dérivée $-A$ puis $A$.

Cas $a \leqslant x \leqslant b$. La relation de Chasles donne $$F(x) = \int_{a}^{x} (x - t)f(t)\,\mathrm{d} t + \int_{x}^{b} (t - x)f(t)\,\mathrm{d} t = x\int_{a}^{x} f - \int_{a}^{x} tf(t)\,\mathrm{d} t + \int_{x}^{b} tf(t)\,\mathrm{d} t - x\int_{x}^{b} f.$$ Les fonctions $f$ et $t \mapsto tf(t)$ sont continues : par le théorème 6, chaque intégrale est une fonction de classe $\mathcal{C}^{1}$ de $x$ sur $[a\,,b]$. En dérivant, les termes $xf(x)$ se compensent deux à deux : $$F'(x) = \int_{a}^{x} f + xf(x) - xf(x) - xf(x) - \int_{x}^{b} f + xf(x) = \int_{a}^{x} f - \int_{x}^{b} f.$$

Raccords. Les expressions coïncident en $a$ et en $b$, et la dérivée à droite en $a$, égale à $-\int_{a}^{b} f = -A$, est la dérivée à gauche ; de même en $b$, les deux dérivées valent $A$. Donc $F$ est dérivable sur $\mathbb{R}$, et $F'$, continue sur chacun des trois intervalles fermés avec des valeurs qui se raccordent, est continue sur $\mathbb{R}$. $$\boxed{F \in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}), \qquad F'(x) = \begin{cases} -\int_{a}^{b} f & \text{si } x \leqslant a \\[1mm] \int_{a}^{x} f - \int_{x}^{b} f & \text{si } a \leqslant x \leqslant b \\[1mm] \int_{a}^{b} f & \text{si } x \geqslant b \end{cases}}$$

Classe $\mathcal{C}^{2}$. Sur $]-\infty\,,a[$ et sur $]b\,,+\infty[$, $F'$ est constante, de dérivée nulle. Sur $[a\,,b]$, le théorème 6 donne $F''(x) = f(x) + f(x) = 2f(x)$. En $a$, la dérivée à gauche de $F'$ vaut $0$ et sa dérivée à droite vaut $2f(a)$ : $F'$ est dérivable en $a$ si et seulement si $f(a) = 0$, et de même en $b$. Réciproquement, si $f(a) = f(b) = 0$, la fonction $F''$, nulle hors de $[a\,,b]$ et égale à $2f$ sur $[a\,,b]$, est continue sur $\mathbb{R}$. $$\boxed{F \in \mathcal{C}^{2}(\mathbb{R}) \iff f(a) = f(b) = 0, \qquad\text{et alors } F'' = 2f \text{ sur } [a\,,b], \ F'' = 0 \text{ ailleurs}}$$ Avec $f(t) = t^{2}$ sur $[0\,,1]$, on vérifie par un calcul symbolique que $F''$ vaut $0$ à droite de $0$ mais $2$ à gauche de $1$ : $F$ n'est pas de classe $\mathcal{C}^{2}$, alors que $f(t) = t(1 - t)$ donne une fonction de classe $\mathcal{C}^{2}$. ✓

À retenir. La relation $F'' = 2f$ sur $]a\,,b[$ dit que $\frac{1}{2}F$ est une primitive seconde de $f$. Si $f \geqslant 0$, la fonction $F$ est convexe (chapitre 9, théorème 11) : c'est une moyenne pondérée des fonctions convexes $x \mapsto |t - x|$.