Exercice 23

On dérive une intégrale dont la borne dépend de $x$ : on l'écrit à l'aide d'une primitive, par le théorème 6, puis on applique la dérivation des fonctions composées. Les fonctions $t \mapsto \operatorname{Arcsin}\sqrt{t}$ et $t \mapsto \operatorname{Arccos}\sqrt{t}$ sont continues sur $[0\,,1]$ ; par le théorème 6, les fonctions $$S(u) = \int_{0}^{u} \operatorname{Arcsin}\sqrt{t}\,\mathrm{d} t \qquad\text{et}\qquad C(u) = \int_{0}^{u} \operatorname{Arccos}\sqrt{t}\,\mathrm{d} t$$ sont de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $[0\,,1]$, de dérivées $\operatorname{Arcsin}\sqrt{u}$ et $\operatorname{Arccos}\sqrt{u}$. Comme $\sin^{2}$ et $\cos^{2}$ sont dérivables à valeurs dans $[0\,,1]$, la fonction $f = S \circ \sin^{2} + C \circ \cos^{2}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ (chapitre 9, théorème 2), et, puisque $\sqrt{\sin^{2}x} = |\sin x|$, $$f'(x) = 2\sin x\cos x\,\big(\operatorname{Arcsin}|\sin x| - \operatorname{Arccos}|\cos x|\big).$$ Soit $y = \operatorname{Arcsin}|\sin x|$, qui appartient à $\big[0\,,\frac{\pi}{2}\big]$. Alors $\cos y \geqslant 0$, et $$\cos y = \sqrt{1 - \sin^{2}y} = \sqrt{1 - \sin^{2}x} = |\cos x| \, ;$$ comme $y \in [0\,,\pi]$, on en déduit $y = \operatorname{Arccos}|\cos x|$. La parenthèse est nulle. $$\boxed{f' = 0 \text{ sur } \mathbb{R}}$$ La fonction $f$ est donc constante sur l'intervalle $\mathbb{R}$. Pour trouver sa valeur, on compare $$f(0) = \int_{0}^{1} \operatorname{Arccos}\sqrt{t}\,\mathrm{d} t \qquad\text{et}\qquad f\Big(\frac{\pi}{2}\Big) = \int_{0}^{1} \operatorname{Arcsin}\sqrt{t}\,\mathrm{d} t.$$ Ces deux nombres sont égaux, et leur somme vaut $\int_{0}^{1} \frac{\pi}{2}\,\mathrm{d} t = \frac{\pi}{2}$, puisque $\operatorname{Arcsin} + \operatorname{Arccos} = \frac{\pi}{2}$ sur $[-1\,,1]$ (chapitre 5). $$\boxed{f(x) = \frac{\pi}{4} \text{ pour tout réel } x}$$ Un calcul numérique de $f(0{,}3)$, $f(1{,}1)$, $f(2{,}5)$ et $f(-4)$ donne bien $0{,}785\,398\ldots$ ✓

Piège. L'erreur la plus répandue est d'écrire $\sqrt{\sin^{2}x} = \sin x$ puis $\operatorname{Arcsin}(\sin x) = x$ : ces deux égalités sont fausses dès que $x \notin \big[0\,,\frac{\pi}{2}\big]$. Elles conduisent ici au bon résultat sur $\big[0\,,\frac{\pi}{2}\big]$ seulement, et il faut l'argument ci-dessus, ou la parité et la $\pi$-périodicité de $f$, pour conclure sur $\mathbb{R}$.