Exercice 24

1. (a) On écrit $f$ à l'aide d'une primitive, par le théorème 6 : la fonction $g : t \mapsto \frac{\mathrm{e}^{-t}}{t}$ est continue sur $]0\,,+\infty[$, et $G(x) = \int_{1}^{x} g$ y est de classe $\mathcal{C}^{1}$, de dérivée $g$. Comme $f(x) = G(2x) - G(x)$, la fonction $f$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$, et $$\boxed{f'(x) = 2g(2x) - g(x) = \frac{\mathrm{e}^{-2x} - \mathrm{e}^{-x}}{x} < 0}$$ puisque $\mathrm{e}^{-2x} < \mathrm{e}^{-x}$ pour $x > 0$. La fonction $f$ est strictement décroissante sur $]0\,,+\infty[$.

(b) Pour $t \in [x\,,2x]$, on a $\mathrm{e}^{-2x} \leqslant \mathrm{e}^{-t} \leqslant \mathrm{e}^{-x}$ ; on divise par $t > 0$ et l'on intègre sur $[x\,,2x]$, dans l'ordre croissant, avec $\int_{x}^{2x} \frac{\mathrm{d} t}{t} = \ln 2$. $$\boxed{\mathrm{e}^{-2x}\ln 2 \leqslant f(x) \leqslant \mathrm{e}^{-x}\ln 2}$$ Les deux bornes tendent vers $\ln 2$ en $0$ et vers $0$ en $+\infty$, et le théorème d'encadrement conclut. $$\boxed{\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \ln 2, \qquad \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0}$$ Le facteur $\frac{1}{t}$ seul donnerait exactement $\ln 2$ : quand $x$ tend vers $0$, le facteur $\mathrm{e}^{-t}$ est presque constant égal à $1$ sur $[x\,,2x]$, et c'est la valeur $\ln 2$ qui subsiste.

2. On sépare $J(\varepsilon, M)$ en deux intégrales, et l'on effectue dans la seconde le changement de variable $u = 2x$ (chapitre 6, proposition 5). Il est naturel parce que $\frac{\mathrm{d} x}{x}$ est inchangé par une homothétie : $\frac{\mathrm{e}^{-2x}}{x}\,\mathrm{d} x = \frac{\mathrm{e}^{-u}}{u}\,\mathrm{d} u$. Ainsi $$J(\varepsilon, M) = \int_{\varepsilon}^{M} \frac{\mathrm{e}^{-x}}{x}\,\mathrm{d} x - \int_{2\varepsilon}^{2M} \frac{\mathrm{e}^{-u}}{u}\,\mathrm{d} u = \int_{\varepsilon}^{2\varepsilon} \frac{\mathrm{e}^{-x}}{x}\,\mathrm{d} x - \int_{M}^{2M} \frac{\mathrm{e}^{-x}}{x}\,\mathrm{d} x,$$ par la relation de Chasles, qui fait disparaître la partie commune entre $2\varepsilon$ et $M$ (avec la convention d'orientation si $2\varepsilon > M$). $$\boxed{J(\varepsilon, M) = f(\varepsilon) - f(M)}$$ Par la question 1 (b), $0 \leqslant \ln 2 - f(\varepsilon) \leqslant (1 - \mathrm{e}^{-2\varepsilon})\ln 2 \leqslant 2\varepsilon\ln 2$, puisque $1 - \mathrm{e}^{-u} \leqslant u$ (convexité de l'exponentielle, chapitre 9), et $0 \leqslant f(M) \leqslant \mathrm{e}^{-M}\ln 2 \leqslant \frac{\ln 2}{M}$, puisque $\mathrm{e}^{M} \geqslant 1 + M > M$. Donc $$|J(\varepsilon, M) - \ln 2| \leqslant |f(\varepsilon) - \ln 2| + f(M) \leqslant 2\varepsilon\ln 2 + \frac{\ln 2}{M}.$$ Soit $\eta > 0$. On pose $\delta = \frac{\eta}{4\ln 2}$ et $A = \frac{2\ln 2}{\eta}$ : chacun des deux termes est au plus $\frac{\eta}{2}$ dès que $\varepsilon \leqslant \delta$ et $M \geqslant A$. $$\boxed{\varepsilon \leqslant \frac{\eta}{4\ln 2} \ \text{ et } \ M \geqslant \frac{2\ln 2}{\eta} \implies |J(\varepsilon, M) - \ln 2| \leqslant \eta}$$ Avec $\eta = 10^{-2}$, une intégration numérique entre $\delta \approx 0{,}0036$ et $A \approx 138{,}6$ donne bien $J$ à moins de $\eta$ de $\ln 2$. ✓

3. Pour $t$ voisin de $0$, $\frac{\cos(t^{2})}{\sin t}$ ressemble à $\frac{1}{t}$, dont l'intégrale sur $[x\,,3x]$ vaut exactement $\ln 3$ : on compare les deux fonctions. Pour $0 < x \leqslant \frac{1}{3}$, on a $[x\,,3x] \subset \,]0\,,1]$, où $\sin t > 0$, et l'on pose $h(t) = \frac{\cos(t^{2})}{\sin t} - \frac{1}{t}$. Par les développements limités du chapitre 10, $$h(t) = \frac{t\cos(t^{2}) - \sin t}{t\sin t} = \frac{t - \big(t - \frac{t^{3}}{6}\big) + o(t^{3})}{t^{2} + o(t^{2})} \sim \frac{t}{6} \xrightarrow[t \to 0^{+}]{} 0.$$ Il existe donc $\delta_{0} \in \,]0\,,1]$ tel que $|h(t)| \leqslant 1$ pour $0 < t \leqslant \delta_{0}$. Pour $0 < x \leqslant \frac{\delta_{0}}{3}$, l'inégalité triangulaire donne $$\Big|\int_{x}^{3x} \frac{\cos(t^{2})}{\sin t}\,\mathrm{d} t - \ln 3\Big| = \Big|\int_{x}^{3x} h(t)\,\mathrm{d} t\Big| \leqslant 2x \xrightarrow[x \to 0^{+}]{} 0.$$

$$\boxed{\lim_{x \to 0^{+}} \int_{x}^{3x} \frac{\cos(t^{2})}{\sin t}\,\mathrm{d} t = \ln 3}$$ Numériquement, on trouve $1{,}098\,679$ pour $x = 10^{-2}$ et $1{,}098\,612\,96$ pour $x = 10^{-3}$, à comparer à $\ln 3 \approx 1{,}098\,612\,29$. ✓

À retenir. Les trois questions reposent sur la même remarque : sur $[x\,,kx]$, l'intégrale de $\frac{1}{t}$ vaut $\ln k$, quel que soit $x$. Quand l'intégrande est équivalent à $\frac{1}{t}$ près de $0$, l'intégrale tend vers $\ln k$ : c'est le principe des intégrales de Frullani, dont $J(\varepsilon, M)$ est un exemple.