Exercice 25

1. On ramène l'équation à une équation $G(y) = c$, à l'aide de la primitive $G(y) = \int_{0}^{y} \mathrm{e}^{t^{2}}\,\mathrm{d} t$ (théorème 6). La fonction $G$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ sur $\mathbb{R}$, de dérivée $y \mapsto \mathrm{e}^{y^{2}} > 0$ : elle est strictement croissante. Pour $y \geqslant 0$, $G(y) \geqslant \int_{0}^{y} 1 = y$, donc $G$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$ ; l'intégrande étant pair, $G$ est impaire (chapitre 6, proposition 6), et tend vers $-\infty$ en $-\infty$. Par le théorème de la bijection (chapitre 8, théorème 11), $G$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur $\mathbb{R}$. Enfin, par la relation de Chasles, $$\int_{x}^{y} \mathrm{e}^{t^{2}}\,\mathrm{d} t = 1 \iff G(y) = 1 + G(x) \iff y = G^{-1}\big(1 + G(x)\big).$$

2. Régularité de $G^{-1}$. La dérivée de $G$ ne s'annule pas, donc $G^{-1}$ est dérivable (chapitre 9, théorème 3), et $$(G^{-1})' = \frac{1}{G' \circ G^{-1}} = \exp\big(-(G^{-1})^{2}\big).$$ Par récurrence, si $G^{-1}$ est de classe $\mathcal{C}^{k}$, le membre de droite l'est aussi, donc $G^{-1}$ est de classe $\mathcal{C}^{k + 1}$ : $G^{-1}$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$. Comme $G$, de dérivée $\exp(y^{2})$, l'est aussi, la composée $\varphi = G^{-1} \circ (1 + G)$ est de classe $\mathcal{C}^{\infty}$ sur $\mathbb{R}$.

Dérivée. On dérive la relation $G\big(\varphi(x)\big) = 1 + G(x)$ : $\varphi'(x)\,\mathrm{e}^{\varphi(x)^{2}} = \mathrm{e}^{x^{2}}$. $$\boxed{\varphi'(x) = \mathrm{e}^{x^{2} - \varphi(x)^{2}}}$$ Numériquement, $\varphi(0) \approx 0{,}795\,17$, et la dérivée calculée par un taux d'accroissement en $-1{,}5$, $0$ et $0{,}8$ coïncide avec cette formule. ✓

À retenir. On n'a jamais calculé $G$, qui ne s'exprime pas à l'aide des fonctions usuelles : le théorème 6 en garantit l'existence et la dérivée, et cela suffit pour tout le raisonnement. Comme $1 + G(x) > G(x)$, on a aussi $\varphi(x) > x$.