Exercice 26

1. Endomorphisme. Par le théorème 6, $P_{0}(f)$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$, donc continue : $P_{0}(f) \in E$. La linéarité de l'intégrale donne celle de $P_{0}$.

Noyau. Si $P_{0}(f) = 0$, on dérive : $f = P_{0}(f)' = 0$ par le théorème 6.

Image. La fonction $P_{0}(f)$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ et s'annule en $0$. Réciproquement, si $F$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ et vérifie $F(0) = 0$, alors $F'$ est continue, et le théorème 6 donne $F(x) = F(0) + \int_{0}^{x} F' = P_{0}(F')(x)$. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, P_{0} = \{0\}, \qquad \mathrm{Im}\, P_{0} = \{F \in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) : F(0) = 0\}}$$

2. La primitive de $f$ qui s'annule en $a$ est $P_{a}(f) : x \mapsto \int_{a}^{x} f$ (théorème 6), et le même raisonnement, avec $a$ à la place de $0$, s'applique. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, P_{a} = \{0\}, \qquad \mathrm{Im}\, P_{a} = \{F \in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) : F(a) = 0\}}$$

3. Existence et unicité. Les primitives de $f$ sont les fonctions $P_{0}(f) + c$, où $c$ est une constante (chapitre 6, proposition 1). La condition $\int_{0}^{1}\big(P_{0}(f) + c\big) = 0$ équivaut à $c = -\int_{0}^{1} P_{0}(f)$ : il y a une unique primitive convenable, $$\boxed{\Pi(f) = P_{0}(f) - \int_{0}^{1} P_{0}(f)}$$ où l'intégrale désigne la fonction constante correspondante. L'application $\Pi$ est linéaire, comme $P_{0}$ et la forme linéaire $F \mapsto \int_{0}^{1} F$, et $\Pi(f)$ est continue : $\Pi$ est un endomorphisme de $E$.

Noyau et image. Si $\Pi(f) = 0$, alors $f = \Pi(f)' = 0$. La fonction $\Pi(f)$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ d'intégrale nulle sur $[0\,,1]$ ; réciproquement, si $G$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ et vérifie $\int_{0}^{1} G = 0$, c'est une primitive de $G'$ d'intégrale nulle, donc $G = \Pi(G')$ par l'unicité. $$\boxed{\mathrm{Ker}\, \Pi = \{0\}, \qquad \mathrm{Im}\, \Pi = \Big\{G \in \mathcal{C}^{1}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) : \int_{0}^{1} G = 0\Big\}}$$ À retenir. Les trois endomorphismes sont injectifs sans être surjectifs : la fonction $x \mapsto |x|$, continue mais non dérivable en $0$, n'est dans aucune des images. Au chapitre 15, un endomorphisme injectif d'un espace de dimension finie était automatiquement bijectif ; l'espace $E$ n'est pas de dimension finie, et ce résultat tombe. Par une intégration par parties, on peut aussi écrire $\int_{0}^{1} P_{0}(f) = \int_{0}^{1} (1 - t)f(t)\,\mathrm{d} t$.