Exercice 50

1. La fonction $\operatorname{sh}$ est strictement croissante : les $n + 1$ réels $s_{k} = \operatorname{sh}(k)$, pour $0 \leqslant k \leqslant n$, sont deux à deux distincts. On note $L_{0}$, …, $L_{n}$ les polynômes interpolateurs de Lagrange associés (chapitre 13, théorème 13) : $L_{k} \in \mathbb{R}_{n}[X]$ et $L_{k}(s_{j})$ vaut $1$ si $j = k$ et $0$ sinon. Tout $P \in \mathbb{R}_{n}[X]$ s'écrit alors $P = \sum_{k=0}^{n} P(s_{k})\,L_{k}$, par l'unicité dans le théorème 13, puisque les deux membres sont dans $\mathbb{R}_{n}[X]$ et prennent les mêmes valeurs aux $n + 1$ points $s_{k}$.

Existence. Pour $P \in \mathbb{R}_{n}[X]$, la linéarité de l'intégrale donne $$\int_{1}^{3} P(\sin t)\,\mathrm{e}^{-t^{3}}\,\mathrm{d} t = \sum_{k=0}^{n} P(s_{k})\int_{1}^{3} L_{k}(\sin t)\,\mathrm{e}^{-t^{3}}\,\mathrm{d} t.$$ Unicité. Si $(\mu_{0}, \dots, \mu_{n})$ convient aussi, on applique la formule à $P = L_{j}$ : le second membre vaut $\sum_{k} \mu_{k}L_{j}(s_{k}) = \mu_{j}$, et le premier est le même pour les deux familles. $$\boxed{\lambda_{k} = \int_{1}^{3} L_{k}(\sin t)\,\mathrm{e}^{-t^{3}}\,\mathrm{d} t, \qquad L_{k} = \prod_{j \neq k} \frac{X - \operatorname{sh}(j)}{\operatorname{sh}(k) - \operatorname{sh}(j)}}$$ On a contrôlé numériquement, pour $n = 2$, que ces réels donnent la valeur exacte de l'intégrale pour $P = 1$, $X$ et $3X^{2} - X + 2$ ✓.

2. Les points $\cos(k\pi) = (-1)^{k}$ ne prennent que les deux valeurs $1$ et $-1$. Pour $n \geqslant 2$, le polynôme $P = X^{2} - 1$ appartient à $\mathbb{R}_{n}[X]$ et s'annule en tous ces points : le second membre est nul quels que soient les $\lambda_{k}$. Le premier membre vaut $$\int_{1}^{3} (\sin^{2} t - 1)\,\mathrm{e}^{-t^{3}}\,\mathrm{d} t = -\int_{1}^{3} \cos^{2} t\,\mathrm{e}^{-t^{3}}\,\mathrm{d} t < 0,$$ par le théorème 4, l'intégrande $\cos^{2} t\,\mathrm{e}^{-t^{3}}$ étant continu, positif et non nul en $2$. Numériquement, il vaut environ $-0{,}0136$. $$\boxed{\text{non : pour } n \geqslant 2, \text{ aucune famille } (\lambda_{k}) \text{ ne convient avec les points } \cos(k\pi)}$$ À retenir. L'intégrale compliquée $\int_{1}^{3} P(\sin t)\,\mathrm{e}^{-t^{3}}\,\mathrm{d} t$ est une forme linéaire sur $\mathbb{R}_{n}[X]$, et l'on vient de l'écrire comme combinaison des $n + 1$ évaluations aux points $s_{k}$ : c'est le principe de toutes les formules de quadrature. La seule chose qui compte est que les points soient distincts ; la méthode du point milieu et celle des trapèzes en sont des cas où les poids sont explicites.