Exercice 51

1. Les nombres $\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}$ et $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t}$ ont pour somme $2\cos t$ et pour produit $1$. Ce sont donc les racines du polynôme unitaire de degré $2$ de l'énoncé. $$\boxed{X^{2} - 2X\cos t + 1 = \big(X - \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\big)\big(X - \mathrm{e}^{-\mathrm{i} t}\big)}$$

2. (a) Par la question 1, avec $X = \theta$ réel, et comme $\mathrm{e}^{-\mathrm{i} t} = \overline{\mathrm{e}^{\mathrm{i} t}}$, $$1 - 2\theta\cos t + \theta^{2} = \big(\theta - \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\big)\overline{\big(\theta - \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\big)} = \big|\theta - \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\big|^{2}.$$ Ce nombre est positif, et il est nul si et seulement si $\theta = \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}$, ce qui imposerait $|\theta| = 1$ avec $\theta$ réel, c'est-à-dire $\theta = \pm 1$, cas exclus. Donc $1 - 2\theta\cos t + \theta^{2} > 0$ pour tout $t$, et $f$, composée de fonctions continues, est continue sur $[0\,,2\pi]$. $$\boxed{1 - 2\theta\cos t + \theta^{2} = \big|\theta - \mathrm{e}^{\mathrm{i} t}\big|^{2} > 0}$$

(b) Soit $\omega = \mathrm{e}^{2\mathrm{i}\pi/n}$. Par la question précédente, $f\big(\frac{2k\pi}{n}\big) = \ln|\theta - \omega^{k}|^{2}$, et la somme des logarithmes est le logarithme du produit : $$\sum_{k=0}^{n-1} f\Big(\frac{2k\pi}{n}\Big) = \ln\Big|\prod_{k=0}^{n-1} (\theta - \omega^{k})\Big|^{2}.$$ Par la factorisation $X^{n} - 1 = \prod_{k=0}^{n-1} (X - \omega^{k})$ (chapitre 13, proposition 17), évaluée en $\theta$, le produit vaut $\theta^{n} - 1$, qui n'est pas nul car $\theta \neq \pm 1$. $$\boxed{\sum_{k=0}^{n-1} f\Big(\frac{2k\pi}{n}\Big) = 2\ln|\theta^{n} - 1|}$$ Pour $\theta = 0{,}7$ et $n = 7$, les deux membres valent $-0{,}1704$ ✓.

(c) On ne connaît pas de primitive de $f$ : on calcule l'intégrale comme limite de sommes de Riemann. La fonction $f$ est continue sur $[0\,,2\pi]$, et la somme des rectangles de pas $\frac{2\pi}{n}$ est, par (b), $$R_{n}(f) = \frac{2\pi}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f\Big(\frac{2k\pi}{n}\Big) = \frac{4\pi}{n}\ln|\theta^{n} - 1|,$$ qui tend vers $\int_{0}^{2\pi} f$ par le théorème 9.

• Si $|\theta| < 1$, alors $\theta^{n} \to 0$ et $\ln|\theta^{n} - 1| \to 0$ : $R_{n}(f) \to 0$.

• Si $|\theta| > 1$, on factorise : $\ln|\theta^{n} - 1| = n\ln|\theta| + \ln|1 - \theta^{-n}|$, où le second terme tend vers $0$. Donc $R_{n}(f) = 4\pi\ln|\theta| + \frac{4\pi}{n}\ln|1 - \theta^{-n}| \to 4\pi\ln|\theta|$.

$$\boxed{\int_{0}^{2\pi} \ln(1 - 2\theta\cos t + \theta^{2})\,\mathrm{d} t = \begin{cases} 0 & \text{si } |\theta| < 1 \\ 4\pi\ln|\theta| & \text{si } |\theta| > 1 \end{cases}}$$ Une intégration numérique confirme ces valeurs pour $\theta = 0{,}5$, $-0{,}3$, $2$ et $-3$ ✓. Les deux cas sont cohérents entre eux : en remplaçant $\theta$ par $\frac{1}{\theta}$, l'intégrande devient $f(t) - 2\ln|\theta|$, et l'intégrale diminue de $4\pi\ln|\theta|$.

À retenir. Ici, la somme de Riemann n'est pas une approximation de l'intégrale : c'est elle qu'on sait calculer exactement, grâce à l'algèbre des racines de l'unité, et le théorème 9 transfère le résultat à l'intégrale. C'est le chemin inverse de celui de la méthode des rectangles.