Exercice 39

1. Dans les trois sommes, $k$ va jusqu'à $3n$, $4n$ ou $2n$ : les points $\frac{k}{n}$ parcourent $[0\,,3]$, $[0\,,4]$ ou $[0\,,2]$ avec le pas $\frac{1}{n}$. Sur $[0\,,c]$, avec $N = cn$ intervalles, le pas est $\frac{c}{N} = \frac{1}{n}$, et l'on reconnaît $R'_{N}(g) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{cn} g\big(\frac{k}{n}\big)$, qui tend vers $\int_{0}^{c} g$ par le théorème 9.

Pour la première somme, $\frac{n}{n^{2} + k^{2}} = \frac{1}{n}\,\frac{1}{1 + (k/n)^{2}}$ : $$\sum_{k=1}^{3n} \frac{n}{n^{2} + k^{2}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \int_{0}^{3} \frac{\mathrm{d} t}{1 + t^{2}} = \boxed{\operatorname{Arctan} 3}$$ Pour la deuxième, $\frac{1}{\sqrt{n^{2} + k^{2}}} = \frac{1}{n}\,\frac{1}{\sqrt{1 + (k/n)^{2}}}$. Une primitive de $\frac{1}{\sqrt{1 + t^{2}}}$ est $\ln\big(t + \sqrt{1 + t^{2}}\big)$, ce que l'on vérifie en dérivant : $\frac{1 + t/\sqrt{1 + t^{2}}}{t + \sqrt{1 + t^{2}}} = \frac{1}{\sqrt{1 + t^{2}}}$. $$\sum_{k=1}^{4n} \frac{1}{\sqrt{n^{2} + k^{2}}} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \Big[\ln\big(t + \sqrt{1 + t^{2}}\big)\Big]_{0}^{4} = \boxed{\ln\big(4 + \sqrt{17}\big)}$$ La troisième est $R'_{2n}(g)$ sur $[0\,,2]$, avec $g(t) = 2t\,\mathrm{e}^{1 + 3t}$. On intègre par parties, en dérivant le facteur polynomial $2t$ et en primitivant l'exponentielle en $\frac{1}{3}\mathrm{e}^{1 + 3t}$ : $$\int_{0}^{2} 2t\,\mathrm{e}^{1 + 3t}\,\mathrm{d} t = \Big[\frac{2t}{3}\,\mathrm{e}^{1 + 3t}\Big]_{0}^{2} - \frac{2}{3}\int_{0}^{2} \mathrm{e}^{1 + 3t}\,\mathrm{d} t = \frac{4}{3}\,\mathrm{e}^{7} - \frac{2}{9}\big(\mathrm{e}^{7} - \mathrm{e}\big),$$

Piège. L'erreur la plus répandue, signalée dans le cours, est d'intégrer sur $[0\,,1]$ par réflexe. Le facteur devant la somme reste $\frac{1}{n}$, alors que la longueur de l'intervalle est $3$, $4$ ou $2$ : c'est le nombre de termes, $cn$, qui fixe l'intervalle.

2. On fait apparaître une somme de Riemann en factorisant $n^{2}$ : $$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2} + k^{2}} = \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{1 + (k/n)^{2}},$$ où le second facteur tend vers $\int_{0}^{1} \frac{\mathrm{d} t}{1 + t^{2}} = \frac{\pi}{4} \neq 0$. Une suite de limite finie non nulle $\ell$ est équivalente à $\ell$ (chapitre 10), d'où $$\boxed{\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n^{2} + k^{2}} \sim \frac{\pi}{4n}}$$ Pour la seconde somme, on pose $k = n + j$, avec $1 \leqslant j \leqslant n$ : $$\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k^{2}} = \sum_{j=1}^{n} \frac{1}{(n + j)^{2}} = \frac{1}{n}\cdot\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n} \frac{1}{(1 + j/n)^{2}}, \qquad \text{d'où} \qquad \boxed{\sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{k^{2}} \sim \frac{1}{2n}}$$ par l'exercice précédent, (f). Pour $n = 10\,000$, les rapports de chaque somme à son équivalent valent $0{,}99997$ et $0{,}99993$ ✓.

À retenir. Une somme de Riemann donne une limite ; si cette limite est nulle, on cherche le bon facteur de normalisation. Ici, sans le facteur $n$, chaque somme tend vers $0$, et c'est le produit par $n$ qui tend vers une intégrale.