Exercice 41

Pour $n \geqslant 1$, on note $x_{k} = a + k\,\frac{b - a}{n}$. L'inégalité de Jensen (chapitre 9, proposition 7), appliquée à $\varphi$ avec les points $f(x_{0})$, …, $f(x_{n-1})$ et les poids égaux $\lambda_{k} = \frac{1}{n}$, donne $$\varphi\Big(\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} f(x_{k})\Big) \leqslant \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \varphi\big(f(x_{k})\big), \qquad\text{soit}\qquad \varphi\Big(\frac{R_{n}(f)}{b - a}\Big) \leqslant \frac{R_{n}(\varphi \circ f)}{b - a}.$$ Les fonctions $f$ et $\varphi \circ f$ sont continues sur $[a\,,b]$ : par le théorème 9, $R_{n}(f)$ et $R_{n}(\varphi \circ f)$ tendent vers leurs intégrales. Comme $\varphi$ est continue, le membre de gauche tend vers $\varphi\big(\frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f\big)$ (caractérisation séquentielle de la continuité, chapitre 8, théorème 7). On passe à la limite dans l'inégalité large (chapitre 7, théorème 5) : $$\boxed{\varphi\Big(\frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f(t)\,\mathrm{d} t\Big) \leqslant \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} \varphi\big(f(t)\big)\,\mathrm{d} t}$$ L'hypothèse de continuité de $\varphi$ a servi exactement à ce passage à la limite.

Pour $\varphi : x \mapsto x^{2}$, convexe puisque $\varphi'' = 2 \geqslant 0$ (chapitre 9, théorème 11), on obtient, après multiplication par $(b - a)^{2}$, $$\boxed{\Big(\int_{a}^{b} f\Big)^{2} \leqslant (b - a)\int_{a}^{b} f^{2}}$$ C'est le cas particulier $g = 1$ de l'inégalité de Cauchy-Schwarz de l'exercice 15. Pour $\varphi = \exp$, également convexe, $$\boxed{\exp\Big(\frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} f\Big) \leqslant \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} \mathrm{e}^{f}}$$ Pour $f(t) = t$ sur $[0\,,1]$, ces inégalités s'écrivent $\frac{1}{4} \leqslant \frac{1}{3}$ et $\mathrm{e}^{1/2} \approx 1{,}649 \leqslant \mathrm{e} - 1 \approx 1{,}718$ ✓.

À retenir. En appliquant la dernière inégalité à $\ln h$, pour $h$ continue et strictement positive, on obtient $\exp\big(\frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} \ln h\big) \leqslant \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b} h$ : c'est l'inégalité entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique, version continue de celle du chapitre 9. Les sommes de Riemann transportent ainsi toute inégalité sur des moyennes finies en une inégalité intégrale.