Exercice 29

1. La fonction $f$ est continue sur le segment $[0\,,1]$, donc bornée (chapitre 8, théorème 10) ; on note $M = \max|f|$. L'inégalité triangulaire donne $$|u_{n}| \leqslant \int_{0}^{1} t^{n}|f(t)|\,\mathrm{d} t \leqslant M\int_{0}^{1} t^{n}\,\mathrm{d} t = \frac{M}{n + 1}.$$

2. On intègre par parties (chapitre 6, proposition 4), en primitivant $t^{n}$ en $\frac{t^{n + 1}}{n + 1}$ et en dérivant $f$. C'est le choix naturel : la primitivation fait sortir un facteur $\frac{1}{n + 1}$, et l'intégrale qui reste est du type de la question 1, avec $f'$ à la place de $f$. Avec $v_{m} = \int_{0}^{1} t^{m}f'(t)\,\mathrm{d} t$, $$u_{n} = \Big[\frac{t^{n + 1}}{n + 1}\,f(t)\Big]_{0}^{1} - \frac{1}{n + 1}\int_{0}^{1} t^{n + 1}f'(t)\,\mathrm{d} t = \frac{f(1) - v_{n + 1}}{n + 1}.$$ La fonction $f'$ est continue, et la question 1, appliquée à $f'$, montre que $v_{n + 1}$ tend vers $0$. Donc $(n + 1)u_{n}$ tend vers $f(1) \neq 0$, ce qui signifie $u_{n} \sim \frac{f(1)}{n + 1} \sim \frac{f(1)}{n}$. $$\boxed{u_{n} \sim \frac{f(1)}{n}}$$

3. Sinus. La fonction $f(t) = \sin\frac{\pi t}{2}$ est de classe $\mathcal{C}^{1}$ et $f(1) = 1$. $$\boxed{\int_{0}^{1} t^{n}\sin\frac{\pi t}{2}\,\mathrm{d} t \sim \frac{1}{n}}$$ Cosinus. Ici $f(1) = \cos\frac{\pi}{2} = 0$, et la question 2 ne conclut pas. On revient à l'égalité exacte de la question 2, $(n + 1)u_{n} = -v_{n + 1}$, avec cette fois $f'(t) = -\frac{\pi}{2}\sin\frac{\pi t}{2}$ : $$(n + 1)\,u_{n} = \frac{\pi}{2}\int_{0}^{1} t^{n + 1}\sin\frac{\pi t}{2}\,\mathrm{d} t \sim \frac{\pi}{2} \times \frac{1}{n + 1},$$ par le cas du sinus au rang $n + 1$. Donc $u_{n} \sim \frac{\pi}{2(n + 1)^{2}} \sim \frac{\pi}{2n^{2}}$. $$\boxed{\int_{0}^{1} t^{n}\cos\frac{\pi t}{2}\,\mathrm{d} t \sim \frac{\pi}{2n^{2}}}$$ Pour $n = 10^{4}$, on calcule numériquement $n \times 0{,}000\,099\,99\ldots \approx 0{,}999\,90$ et $n^{2}$ fois la seconde intégrale $\approx 1{,}570\,3$, contre $\frac{\pi}{2} \approx 1{,}570\,8$. ✓

Piège. L'erreur la plus répandue est d'écrire $u_{n} \sim \frac{0}{n}$ quand $f(1) = 0$ : un équivalent n'est jamais la suite nulle (chapitre 10). L'intégrale $\int_{0}^{1} t^{n}f(t)\,\mathrm{d} t$ ne voit, pour $n$ grand, que les valeurs de $f$ près de $1$ ; si $f(1) = 0$, il faut regarder l'ordre suivant, ici $f'(1)$.