Exercice 1

Chaque système s'écrit $AX=B$, où $A$ est la matrice des coefficients. Si $A$ est inversible, l'unique solution est $X=A^{-1}B$. On rappelle que pour $A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ de déterminant $\det(A)=ad-bc$ non nul : $$A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

1. $A=\begin{pmatrix} 2 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 7 \\ -5 \end{pmatrix}$. On calcule $\det(A)=2\times 1-(-3)\times(-2)=2-6=-4\neq 0$, donc : $$A^{-1}=-\frac{1}{4}\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}$$

$$\boxed{S=\left\{(2\,;-1)\right\}}$$ On vérifie : $2\times 2-3\times(-1)=4+3=7$ et $-2\times 2+(-1)=-5$ : les deux équations sont vérifiées.

2. $A=\begin{pmatrix} -6 & 7 \\ 3 & 14 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} -3 \\ -1 \end{pmatrix}$, avec $\det(A)=-6\times 14-7\times 3=-84-21=-105\neq 0$ : $$A^{-1}=-\frac{1}{105}\begin{pmatrix} 14 & -7 \\ -3 & -6 \end{pmatrix}$$

3. On commence par simplifier les radicaux : $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ et $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$. Le système s'écrit donc : $$\begin{pmatrix} \sqrt{2} & -\sqrt{3} \\ 2\sqrt{2} & 3\sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -1 \\ 13 \end{pmatrix}$$ Son déterminant vaut : $$\det(A)=\sqrt{2}\times 3\sqrt{3}-\left(-\sqrt{3}\right)\times 2\sqrt{2} =3\sqrt{6}+2\sqrt{6}=5\sqrt{6}\neq 0$$

$$\boxed{S=\left\{\left(\sqrt{2}\,;\sqrt{3}\right)\right\}}$$ On vérifie : $\sqrt{2}\times\sqrt{2}-\sqrt{3}\times\sqrt{3}=2-3=-1$ et $2\sqrt{2}\times\sqrt{2}+3\sqrt{3}\times\sqrt{3}=4+9=13$.

4. $A=\begin{pmatrix} 6 & -9 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$ et $B=\begin{pmatrix} 6 \\ \frac{7}{6} \end{pmatrix}$, avec $\det(A)=6\times 3-(-9)\times 1=18+9=27\neq 0$ : $$A^{-1}=\frac{1}{27}\begin{pmatrix} 3 & 9 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}$$