Exercice 2

1. La calculatrice donne : $$\boxed{A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0{,}5 & 0{,}5 & 0 \\ 0 & 0{,}5 & 0{,}5 \\ 0{,}5 & 0 & 0{,}5 \end{pmatrix}}$$ On peut le contrôler à la main : $$A\times A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}=I_{3}$$

2. Le système s'écrit $AX=B$ avec $B=\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$. La matrice $A$ étant inversible, la solution est unique et vaut $X=A^{-1}B$ : $$X=\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 3-1+0 \\ 0-1+5 \\ 3+0+5 \end{pmatrix} =\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 8 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$$

$$\boxed{S=\left\{(1\,;2\,;4)\right\}}$$ Vérification dans la première équation : $1-2+4=3$, et dans la troisième : $-1+2+4=5$.