Feuille d'exercicesMaths expertes, chapitre 6

Applications des matrices

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Systèmes linéaires

Exercice 1 Résoudre à l'aide d'un calcul matriciel les systèmes suivants: 1. { begin array{ll} 2x-3y=7 -2x+y=-5 end array. 2. { begin array{ll} -6x+7y=-3…
Exercice 2 1. Donner à l'aide de la calculatrice l'inverse de la matrice A=begin pmatrix 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 -1 & 1 & 1 end pmatrix 2. En déduire la solution…
Exercice 3 · Quand la matrice n'est pas inversible On considère les trois systèmes suivants: (S_1): { begin array{l} 3x-y=2 x+2y=10 end array. (S_2): { begin array{l} 2x+4y=6 x+2y=3 end array. (S_3):…
Exercice 4 On cherche à déterminer l’équation de la parabole, y = ax^2 + bx + c, passant par les points: P(1; 4), Q(-2; -5) et R(-1; 0). 1. Traduire…
Exercice 5 · À la boulangerie Trois clients achètent des croissants, des pains au chocolat et des baguettes, dont on note respectivement x, y et z les prix unitaires en euros. Le…
Exercice 6 · Système à paramètre Soit m un nombre réel. On considère le système: (S_m): { begin array{l} mx+2y=1 2x+my=m-1 end array. 1. Écrire (S_m) sous la forme AX=B, et…
Exercice 7 · Cercle passant par trois points Dans un repère orthonormé, on considère les points A(5;3), B(-3;-1) et C(6;-4). 1. Soit C le cercle de centre Ω(x_0;y_0) et de rayon r>0. Justifier…

Exercice 8 Pour chacun des cas, déterminer l'opération matricielle associée à la transformation et calculer les coordonnées de l'image demandée: 1. A' l'image…
Exercice 9 · Reconnaître une transformation On considère les matrices: T_1=begin pmatrix -1 & 0 0 & 1 end pmatrix, T_2=begin pmatrix 2 & 0 0 & 2 end pmatrix, T_3=begin pmatrix 0 & -1 1 & 0 end…
Exercice 10 D(-4√3;-2) est l'image de A(√3;7) par une rotation de centre O. Quel est l'angle de cette rotation ?
Exercice 11 · Composer des transformations 1. Soient T et T' deux matrices de transformation. On note M' l'image d'un point M par la transformation de matrice T, puis M'' l'image de M' par la…
Exercice 12 · Remonter à l'antécédent 1. Le point B' (-√2;3√2) est l'image d'un point B par la rotation de centre O et d'angle π/4. Déterminer les coordonnées de B à l'aide d'une matrice…
Exercice 13 · Rotation complexe Soient M(z) et M'(z') deux points du plan complexe. Le point M' est l’image du point M par la rotation r de centre O et d’angle θ. On pose z = x +…

Exercice 14 On considère le graphe orienté ci-contre. 1. Déterminer l’ordre du graphe. 2. Déterminer le degré de chaque sommet. 3. En déduire par un calcul le…
Exercice 15 Un site de rencontre prend en compte quatre critères: aimer les musées, aimer le sport, aimer les rencontres et aimer la montagne. Les personnes A,…
Exercice 16 On considère le graphe non orienté G ci-contre. 1. Donner l'ordre de G et le degré de chacun de ses sommets. Le graphe G est-il complet ? Est-il…
Exercice 17 Soit le graphe orienté suivant: 1. Donner la matrice d’adjacence de ce graphe. 2. Combien existe-t-il de chemins: (a) de longueur 4 reliant D à A ?…
Exercice 18 On donne les matrices d’adjacence A et B correspondant aux graphes G_1 et G_2: A = begin pmatrix 0&1&1&1 1&0&0&11&0&0&01&1&0&0 end pmatrix et…
Exercice 19 · Liaisons aériennes Une compagnie aérienne dessert cinq villes: Paris (P), Lyon (L), Marseille (M), Nice (N) et Bordeaux (B). Certains vols ne fonctionnent que dans un…

Exercice 20 · Rotation de centre quelconque Le cours ne donne l'écriture matricielle que des rotations de centre O. On considère ici le point Ω(1;2) et la rotation r de centre Ω et d'angle…
Exercice 21 · Compter les triangles On appelle trace d'une matrice carrée la somme de ses coefficients diagonaux. Dans un graphe non orienté sans boucle, on appelle triangle un…
Exercice 22 · Symétries axiales quelconques Pour tout réel φ, on pose S_φ=begin pmatrix cos (2φ) & sin (2φ) sin (2φ) & -cos (2φ) end pmatrix. On note D_φ la droite passant par O et dirigée par…

Exercice 23 · Les formules d'addition retrouvées On note R(θ) la matrice de la rotation de centre O et d'angle θ. On admet que faire tourner un point d'un angle b, puis d'un angle a, revient à le…
Exercice 24 · Somme des carrés des premiers entiers Pour n∈ℕ^(), on pose S_n=1^2+2^2+…+n^2. 1. Calculer S_1, S_2 et S_3. 2. On cherche trois réels a, b et c tels que, pour tout n∈ℕ^(),…
Exercice 25 · Interpolation de Lagrange Soient y_0, y_1 et y_2 trois réels. On cherche une fonction polynôme P de degré au plus 2, P(x)=ax^2+bx+c, telle que P(-1)=y_0, P(0)=y_1 et…
Exercice 26 · Rotations à coefficients rationnels Pour tout réel t, on pose c(t)= (1-t^2)/(1+t^2) et s(t)= 2t/(1+t^2). 1. Vérifier que c(t)^2+s(t)^2=1. On admet qu'il existe alors un réel θ tel que…
Exercice 27 · Transformation de $a\cos(x)+b\sin(x)$ Soient a et b deux réels non tous deux nuls, et r=√(a^2+b^2). 1. Justifier qu'il existe un réel φ tel que a=rcos (φ) et b=rsin (φ). En déduire que…
Exercice 28 · Marche sur un carré Un pion se déplace sur les sommets d'un carré ABCD: à chaque étape, il passe d'un sommet à l'un des deux sommets voisins. On modélise la situation…
Exercice 29 · Chaînes dans un graphe complet Soit n≥ 3 un entier. On considère le graphe complet K_n à n sommets, sans boucle, et sa matrice d'adjacence M. On note I la matrice identité et J la…