Exercice 13 Rotation complexe

1. C'est la matrice du cours : $$\boxed{R=\begin{pmatrix} \cos(\theta) & -\sin(\theta) \\ \sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}}$$

2. L'égalité $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=R\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ donne, ligne par ligne : $$\boxed{\left\{\begin{array}{rcl} x' &=& x\cos(\theta)-y\sin(\theta) \\[1mm] y' &=& x\sin(\theta)+y\cos(\theta) \end{array}\right.}$$

3. On développe, en n'oubliant pas que $\mathrm{i}^{2}=-1$ : $$\begin{aligned} \left(\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)\right)(x+\mathrm{i}y) &= x\cos(\theta)+\mathrm{i}y\cos(\theta)+\mathrm{i}x\sin(\theta) +\mathrm{i}^{2}y\sin(\theta) \\ &= \boxed{\left(x\cos(\theta)-y\sin(\theta)\right) +\mathrm{i}\left(x\sin(\theta)+y\cos(\theta)\right)} \end{aligned}$$

4. On reconnaît exactement $x'$ dans la partie réelle et $y'$ dans la partie imaginaire du développement précédent. Comme $z'=x'+\mathrm{i}y'$ : $$\boxed{z'=\left(\cos(\theta)+\mathrm{i}\sin(\theta)\right)z=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}\,z}$$ La rotation de centre $O$ et d'angle $\theta$ se traduit donc, dans le plan complexe, par une simple multiplication par $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$. La matrice de rotation et le nombre complexe de module $1$ décrivent la même transformation : c'est la même information, écrite de deux façons.