Exercice 12 Remonter à l'antécédent

1. Si $X$ et $X'$ désignent les colonnes des coordonnées de $B$ et $B'$, on a $X'=R\left(\frac{\pi}{4}\right)X$, donc $X=R\left(\frac{\pi}{4}\right)^{-1}X'=R\left(-\frac{\pi}{4}\right)X'$ d'après l'exercice 11 : $$X=\begin{pmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\[1mm] -\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -\sqrt{2} \\ 3\sqrt{2} \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1+3 \\ 1+3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix} \qquad \boxed{B(2\,;4)}$$ On contrôle que $OB=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}$ et $OB'=\sqrt{2+18}=\sqrt{20}$.

2. (a) $T\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a \\ c \end{pmatrix}$ et $T\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b \\ d \end{pmatrix}$ : ce sont bien les deux colonnes de $T$. D'où $a=0$, $c=3$, $b=-3$, $d=0$ : $$\boxed{T=\begin{pmatrix} 0 & -3 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}}$$ Ce résultat est très utile : les colonnes d'une matrice de transformation sont les images des points $I$ et $J$.

(b) On met $3$ en facteur : $$T=3\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $T$ est le produit de la matrice de l'homothétie de centre $O$ et de rapport $3$ par celle de la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. Comme $3I_{2}$ commute avec toute matrice, l'ordre n'importe pas ici.

(c) $T\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 6 \end{pmatrix}$, donc l'image de $K$ est $\boxed{K'(-3\,;6)}$.

3. Une telle matrice $T$ devrait vérifier $T\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$. Mais alors : $$T\begin{pmatrix} 2 \\ 4 \end{pmatrix}=T\left(2\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right)=2\,T\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix}\neq\begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$$ Une telle matrice n'existe pas. Une transformation définie par une matrice envoie un point aligné avec $O$ et un autre sur deux points eux aussi alignés avec $O$, dans les mêmes proportions.